Giải bài tập Toán 11 Chân trời sáng tạo Bài 1: Điểm, đường thẳng và mặt phẳng trong không gian

Môn học Hình học phẳng tìm hiểu tính chất của các hình cùng thuộc một mặt phẳng. Môn học Hình học không gian tìm hiểu tính chất của các hình trong không gian, những hình này có thể chứa những điểm không cùng thuộc một mặt phẳng. Hãy phân loại các hình sau thành hai nhóm hình khác nhau.

Mặt bàn, mặt bảng cho ta hình ảnh một phần của mặt phẳng. Hãy chỉ thêm các ví dụ khác về hình ảnh một phần của mặt phẳng. 

a) Vẽ hình biểu diễn của một hình hộp chữ nhật.

b) Quan sát Hình 4a và cho biết điểm nào thuộc, điểm nào không thuộc mặt phẳng \(\left( P \right)\).

c) Quan sát Hình 4b và cho biết điểm nào thuộc, điểm nào không thuộc mặt phẳng \(\left( Q \right)\). 

Quan sát Hình 5 và cho biết muốn gác một cây sao tập nhảy cao, người ta cần dựa nó vào mấy điểm trên hai cọc đỡ.

Cho bốn điểm \(A,B,C,D\) phân biệt, trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng. Có bao nhiêu đường thắng đi qua hai trong bốn điểm đã cho?

Quan sát Hình 7 và cho biết giá đỡ máy ảnh tiếp đất tại mấy điểm. Tại sao giá đỡ máy ảnh thường có ba chân?

Có bao nhiêu mặt phẳng đi qua ba đỉnh của tam giác \(MNP\)? 

Quan sát Hình 10 và cho biết người thợ mộc kiểm tra mặt bàn có phẳng hay không bằng một cây thước thẳng như thế nào.

Cho mặt phẳng \(\left( Q \right)\) đi qua bốn đỉnh của tứ giác \(ABCD\). Các điểm nằm trên các đường chéo của tứ giác \(ABCD\) có thuộc mặt phẳng \(\left( Q \right)\) không? Giải thích. 

Quan sát Hình 13 và cho biết bốn đỉnh \(A,B,C,D\) của cái bánh giò có cùng nằm trên một mặt phẳng hay không.

Cho tam giác \(MNP\) và cho điểm \(O\) không thuộc mặt phẳng chứa ba điểm \(M,N,P\). Tìm các mặt phẳng phân biệt được xác định từ bốn điểm \(M,N,P,O\).

Quan sát Hình 14 và mô tả phần giao nhau của hai bức tường.

Cho \(A,B,C\) là ba điểm chung của hai mặt phẳng phân biệt \(\left( \alpha \right)\) và \(\left( \beta \right)\) (Hình 16). Chứng minh \(A,B,C\) thẳng hàng.

Trong mặt phẳng \(\left( P \right)\), cho tam giác \(ABC\) có \(M,N\) lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng \(AB,AC\) (Hình 17). Tính tỉ số \(\frac{{MN}}{{BC}}\).

Tại sao muốn cánh cửa đóng mở được êm thì các điểm gắn bản lề \(A,B,C\) của cánh cửa và mặt tường (Hình 19) phải cùng nằm trên một đường thẳng?

Cho đường thẳng \(a\) và điểm \(A\) không nằm trên \(a\). Trên \(a\) lấy hai điểm \(B,C\). Đường thẳng \(a\) có nằm trong mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) không? Giải thích.

Hai đường thẳng phân biệt \(a\) và \(b\) cắt nhau tại điểm \(O\). Trên \(a,b\) lấy lần lượt hai điểm \(M,N\) khác \(O\). Gọi \(\left( P \right)\) là mặt phẳng đi qua ba điểm \(M,N,O\) (Hình 25). Mặt phẳng \(\left( P \right)\) có chứa cả hai đường thẳng \(a\) và \(b\) không? Giải thích.

Cho hai đường thẳng \(a\) và \(b\) cắt nhau tại \(O\) và điểm \(M\) không thuộc \(mp\left( {a,b} \right)\).

a) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng \(\left( {M,a} \right)\) và \(\left( {M,b} \right)\).

b) Lấy \(A,B\) lần lượt là hai điểm trên \(a,b\) và khác với điểm \(O\). Tìm giao tuyến của \(\left( {MAB} \right)\) và \(mp\left( {a,b} \right)\).

c) Lấy điểm \(A'\) trên đoạn \(MA\) và điểm \(B'\) trên đoạn \(MB\) sao cho đường thẳng \(A'B'\) cắt \(mp\left( {a,b} \right)\) tại \(C\). Chứng minh ba điểm \(A,B,C\) thẳng hàng.

Giải thích tại sao ghế bốn chân có thể bị khập khiễng còn ghế ba chân thì không. 

Trong xây dựng, người ta thường dùng máy quét tia laser để kẻ các đường thẳng trên tường hoặc sàn nhà. Tìm giao tuyến của mặt phẳng tạo bởi các tia laser \(OA\) và \(OB\) với các mặt tường trong Hình 29.

a) Các công trình kiến trúc, đồ vật trong Hình 30 có mặt bên là hình gì?

b) Tìm điểm giống nhau của các hình trong Hình 31.

Trong Hình 34, hình chóp nào có số mặt ít nhất?

Cho tứ diện \(SABC\). Gọi \(H,K\) lần lượt là hai điểm trên hai cạnh \(SA\) và \(SC\left( {H \ne S,A;K \ne S,C} \right)\) sao cho \(HK\) không song song với \(AC\). Gọi \(I\) là trung điểm của \(BC\) (Hình 38).

a) Tìm giao điểm của đường thẳng \(HK\) và mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\).

b) Tìm giao tuyến của các mặt phẳng \(\left( {SAI} \right)\) và \(\left( {ABK} \right)\); \(\left( {SAI} \right)\) và \(\left( {BCH} \right)\).

Cho hình chóp \(S.ABCD\). Trên các cạnh bên của hình chóp lấy lần lượt các điểm \(A',B',C',D'\). Cho biết \(AC\) cắt \(B{\rm{D}}\) tại \(O\), \(A'C'\) cắt \(B'{\rm{D'}}\) tại \(O'\), \(AB\) cắt \(DC\) tại \(E\) và \(A'B'\) cắt \(D'C'\) tại \(E'\) (Hình 39). Chứng minh rằng:

a) \(S,O',O\) thẳng hàng;

b) \(S,E',E\) thẳng hàng.

Nêu cách tạo lập tứ diện đều \(SABC\) từ tam giác đều \(SS'S''\) theo gợi ý ở Hình 40.

Cho hình chóp \(S.ABCD\), gọi \(O\) là giao điểm của \(AC\) và \(B{\rm{D}}\). Lấy \(M,N\) lần lượt thuộc các cạnh \(SA,SC\).

a) Chứng minh đường thẳng \(MN\) nằm trong mặt phẳng \(\left( {SAC} \right)\).

b) Chứng minh \(O\) là điểm chung của hai mặt phẳng \(\left( {SAC} \right)\) và \(\left( {SB{\rm{D}}} \right)\).

Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình bình hành. Gọi \(M\) là trung điểm của \(SC\).

a) Tìm giao điểm \(I\) của đường thẳng \(AM\) và mặt phẳng \(\left( {SBD} \right)\). Chứng minh \(IA = 2IM\).

b) Tìm giao điểm \(E\) của đường thẳng \(S{\rm{D}}\) và mặt phẳng \(\left( {ABM} \right)\).

c) Gọi \(N\) là một điểm tuỳ ý trên cạnh \(AB\). Tìm giao điểm của đường thẳng \(MN\) và mặt phẳng \(\left( {SBD} \right)\).

Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình bình hành. Gọi \(O\) là giao điểm của \(AC\) và \(BD\); \(M,N\) lần lượt là trung điểm của \(SB,SD\); \(P\) thuộc đoạn \(SC\) và không là trung điểm của \(SC\).

a) Tìm giao điểm \(E\) của đường thẳng \(SO\) và mặt phẳng \(\left( {MNP} \right)\).

b) Tìm giao điểm \(Q\) của đường thẳng \(SA\) và mặt phẳng \(\left( {MNP} \right)\).

c) Gọi \(I,J,K\) lần lượt là giao điểm của \(QM\) và \(AB\), \(QP\) và \(AC\), \(QN\) và \(A{\rm{D}}\). Chứng minh \(I,J,K\) thẳng hàng.

Cho tứ diện \(ABCD\). Gọi \(E,F,G\) lần lượt là ba điểm trên ba cạnh \(AB,AC,BD\) sao cho \(EF\) cắt \(BC\) tại \(I\left( {I \ne C} \right)\), \(EG\) cắt \(A{\rm{D}}\) tại \(H\left( {H \ne D} \right)\).

a) Tìm giao tuyến của các mặt phẳng \(\left( {EFG} \right)\) và \(\left( {BCD} \right)\); \(\left( {EFG} \right)\) và \(\left( {ACD} \right)\).

b) Chứng minh ba đường thẳng \(CD,IG,HF\) cùng đi qua một điểm.

Thước laser phát ra tia laser, khi tia này quay sẽ tạo ra mặt phẳng ánh sáng (Hình 41). Giải thích tại sao các thước kẻ laser lại giúp người thợ xây dựng kẻ được đường thẳng trên tường hoặc sàn nhà.

Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình thang đáy lớn AD. Gọi E, F lần lượt là hai điểm trên hai cạnh SB, SD.

a) Tìm giao điểm của EF và (SAC);

b) Tìm giao điểm của BC và (AEF).

Cho hình chóp S.ABCD. Gọi D, E, F lần lượt là ba điểm trên ba cạnh SA, SB, SC sao cho DE cắt AB tại I, EF cắt BC tại J, FD cắt CA tại K. Chứng minh ba điểm I, J, K thẳng hàng?

Cho tứ diện ABCD. Gọi E, F, G lần lượt là các điểm thuộc ba cạnh AB, AC, BD sao cho EF cắt BC tại I, AD cắt EG tại H. Chứng minh ba đường thẳng CD, IG, HF cùng đi qua một điểm?

Cho tứ diện ABCD. Trên các cạnh AB, AC, BD lần lượt lấy các điểm E, F, G sao cho EB > AE, AF > FC, BG > GD. Tìm giao tuyến của các cặp mặt phẳng (EFG) và (ACD), (EFG) và (BCD), (EFG) và (ABD)?