Giải bài tập Toán 11 Cánh Diều Chương 6 Bài 2: Phép tính Lôgarit

Chỉ số hay độ pH của một dung dịch được tính theo công thức: pH = – log[H⁺] với [H⁺] là nồng độ ion hydrogen. Người ta đo được nồng độ ion hydrogen của một cốc nước cam là 10^–4, nước dừa là 10^–5 (nồng độ tính bằng molL^–1). Làm thế nào để tính được độ pH của cốc nước cam, nước dừa đó?

a) Tìm x trong mỗi trường hợp sau: $3^x=9;3^x=\frac{1}{9}?$

b) Có bao nhiêu số thực x sao cho 3^x = 5?

Tính:

a) log₃81;

b) ${\log }_{10}\frac{1}{100}.$

Cho a > 0, a ≠ 1. Tính:

a) log_a1;

b) log_aa;

c) log_a a^c;

d) $a^{{\log }_{a}b}$ với b > 0.

Tính:

a) ${\log }_4\sqrt[5]{16};$

b) ${36}^{{\log }_{6}8}.$

Giải bài toán được nêu ở phần mở đầu.

Cho m = 2⁷, n = 2³.

a) Tính log₂(mn); log₂m + log₂n và so sánh các kết quả đó.

b) Tính ${\log }_2\left(\frac{m}{n}\right);$ log₂m – log₂n và so sánh các kết quả đó.

Tính:

a) $\ln \left(\sqrt{5}+2\right)+\ln \left(\sqrt{5}-2\right);$

b) log400 – log4;

c) ${\log }_{4}8+{\log }_{4}12+{\log }_4\frac{32}{3}.$

Cho a > 0, a ≠1, b > 0, α là một số thực.

a) Tính $a^{{\log }_a{b}^{\alpha }}$ và $a^{\alpha {\log }_{a}b}$ .

b) So sánh ${\log }_a{b}^{\alpha }$ và $\alpha {\log }_{a}b$.

Tính: $2{\log }_{3}5-{\log }_{3}50+\frac{1}{2}{\log }_{3}36$?

Cho ba số thực dương a, b, c với a ≠ 1, b ≠ 1.

a) Bằng cách sử dụng tính chất $c=b^{{\log }_{b}c},$ chứng tỏ rằng log_ac = log_bc . log_ab;

b) So sánh log_bc và $\frac{{\log }_{a}c}{{\log }_{a}b}.$

Tính: $5^{{\log }_{125}64}?$

Sử dụng máy tính cầm tay để tính: log₇19; log₁₁26?

Tính:

a) log₁₂12³;

b) log_0,50,25;

c) log_aa^–3 (a > 0, a ≠ 1).

Tính:

a) $8^{{\log }_{2}5};$

b) ${\left(\frac{1}{10}\right)}^{\log 81};$

c) $5^{{\log }_{25}16}.$

Cho log_ab = 2. Tính:

a) log_a(a²b³);

b) ${\log }_a\frac{a\sqrt{a}}{b\sqrt[3]{b}};$

c) ${\log }_a\left(2b\right)+{\log }_a\left(\frac{b^2}{2}\right).$

Cho hai số thực dương a, b thoả mãn a³b² = 100. Tính giá trị của biểu thức P = 3log a + 2log b?

Trong nuôi trồng thuỷ sản, độ pH của môi trường nước sẽ ảnh hưởng đến sức khoẻ và sự phát triển của thuỷ sản. Độ pH thích hợp cho nước trong đầm nuôi tôm sú là từ 7,2 đến 8,8 và tốt nhất là trong khoảng từ 7,8 đến 8,5. Phân tích nồng độ [H⁺] trong một đầm nuôi tôm sú, ta thu được [H⁺] = 8 . 10^–8 (Nguồn: https://nongnghiep.farmvina.com). Hỏi độ pH của đầm đó có thích hợp cho tôm sú phát triển không?

Một vi khuẩn có khối lượng khoảng 5 . 10^–13 gam và cứ 20 phút vi khuẩn đó tự nhân đôi một lần (Nguồn: Câu hỏi và bài tập vi sinh học, NXB ĐHSP, 2008). Giả sử các vi khuẩn được nuôi trong các điều kiện sinh trưởng tối ưu và mỗi con vi khuẩn đều tồn tại trong ít nhất 60 giờ. Hỏi sau bao nhiêu giờ khối lượng do tế bào vi khuẩn này sinh ra sẽ đạt tới khối lượng của Trái Đất (lấy khối lượng của Trái Đất là 6 . 10²⁷ gam) (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)?

Cho a > 0, a ≠ 2. Giá trị của ${\log }_{\frac{a}{2}}\left(\frac{a^2}{4}\right)$ bằng:

A. $\frac{1}{2}$

B. 2;

C. $-\frac{1}{2};$

D. – 2.

Cho a > 0, a ≠ 1. Giá trị của ${\log }_a\sqrt{a\sqrt{a}}$ bằng:

A. $\frac{4}{3}$

B. $\frac{3}{2}$

C. $\frac{3}{4}$

D. $\frac{1}{8}$

Cho a > 0. Giá trị của ${\log }_2\left(\frac{8}{a}\right)$ bằng:

A. 3 – log₂ a;

B. 4 – log₂ a;

C. $\frac{1}{{\log }_{2}a};$

D. 8 – log₂ a.

Nếu log_ab = 2, log_ac = 3, thì log_a(b²c³) bằng:

A. 108;

B. 13;

C. 31;

D. 36.

Cho a > 0. Giá trị của ln(9a) – ln(3a) bằng:

A. ln(6a);

B. ln6;

C. $\frac{\ln 9}{\ln 3};$

D. ln3.

Cho a > 0, b > 0. Mệnh đề đúng là:

A. \({{\log }_{2}}\left( \frac{2{{a}^{3}}}{b} \right)=1+3{{\log }_{2}}a-{{\log }_{2}}b;\)

B. \({{\log }_{2}}\left( \frac{2{{a}^{3}}}{b} \right)=1+\frac{1}{3}{{\log }_{2}}a-{{\log }_{2}}b;\)

C. \({{\log }_{2}}\left( \frac{2{{a}^{3}}}{b} \right)=1+3{{\log }_{2}}a+{{\log }_{2}}b;\)

D. \({{\log }_{2}}\left( \frac{2{{a}^{3}}}{b} \right)=1+\frac{1}{3}{{\log }_{2}}a+{{\log }_{2}}b.\)

Cho a > 0, a ≠ 1 và b > 0. Mệnh đề đúng là:

A. \({{\log }_{{{a}^{2}}}}\left( ab \right)=\frac{1}{2}{{\log }_{a}}b;\)

B. \({{\log }_{{{a}^{2}}}}\left( ab \right)=2+2{{\log }_{a}}b;\)

C. \({{\log }_{{{a}^{2}}}}\left( ab \right)=\frac{1}{4}+\frac{1}{2}{{\log }_{a}}b;\)

D. \({{\log }_{{{a}^{2}}}}\left( ab \right)=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}{{\log }_{a}}b.\)

Nếu \({\log _2}3 = a\) thì \({\log _6}9\) bằng:

A. \(\frac{a}{{a + 1}}.\)

B. \(\frac{a}{{a + 2}}.\)

C. \(\frac{{2a}}{{a + 2}}.\)

D. \(\frac{{2a}}{{a + 1}}.\)

Nếu \({\log _a}b = 5\) thì \({\log _{{a^2}b}}\left( {a{b^2}} \right)\) bằng:

A. \(\frac{{11}}{7}.\)

B. \(1.\)

C. \(4.\)

D. \(\frac{{26}}{7}.\)

Cho \(a > 0,b > 0\) thỏa mãn \({a^2} + {b^2} = 7ab\). Khi đó, \(\log \left( {a + b} \right)\) bằng?

A. \(\log 9 + \frac{1}{2}\left( {\log a + \log b} \right).\)

B. \(\log 3 + \frac{1}{2}\log a.\log b.\)

C. \(\log 3 + \frac{1}{2}\log a + \log b.\)

D. \(\log 3 + \frac{1}{2}\left( {\log a + \log b} \right).\)

Không sử dụng máy tính cầm tay, hãy tính:

a) \({\log _{\sqrt 2 }}8;\)

b) \({\log _3}\sqrt[3]{9};\)

c) \({9^{{{\log }_3}12}};\)

d) \({2^{{{\log }_4}9}}.\)

Tính:

a) \(A = \frac{{{{25}^{{{\log }_5}6}} + {{49}^{{{\log }_7}8}} - 3}}{{{3^{1 + {{\log }_9}4}} + {4^{2 - {{\log }_2}3}} + {5^{{{\log }_{125}}27}}}};\)

b) \(B= \frac{{{{36}^{{{\log }_6}5}} + {{10}^{1 - \log 2}} - 3{}^{{{\log }_9}36}}}{{{{\log }_2}\left( {{{\log }_2}\sqrt {\sqrt[4]{2}} } \right)}};\)

c) \(C = {\log _{\frac{1}{4}}}\left( {{{\log }_3}4.{{\log }_2}3} \right);\)

d) \(D = {\log _4}2.{\log _6}4.{\log _8}6.\)

Cho \({\log _a}b = 4.\) Tính:

a) \({\log _a}\left( {{a^{\frac{1}{2}}}{b^5}} \right);\)

b) \({\log _a}\left( {\frac{{a\sqrt b }}{{b\sqrt[3]{a}}}} \right);\)

c) \({\log _{{a^3}{b^2}}}\left( {{a^2}{b^3}} \right);\)

d) \({\log _{a\sqrt[3]{b}}}\left( {\sqrt[4]{{a\sqrt b }}} \right).\)

a) Cho \({\log _2}3 = a.\) Tính \({\log _{18}}72\) theo \(a.\)

b) Cho \(\log 2 = a.\) Tính \({\log _{20}}50\) theo \(a.\)

Cho \(x > 0,y > 0\) thỏa mãn \({x^2} + 4{y^2} = 6xy.\) Chứng minh rằng: \(2\log \left( {x + 2y} \right) = 1 + \log x + \log y\)?

Cho \(a,b,c,x,y,z\) là các số thực dương khác 1 và \({\log _x}a,{\rm{ }}{\log _y}b,{\rm{ }}{\log _z}c\) theo thứ tự lập thành một cấp số cộng.

Chứng minh rằng: \({\log _b}y = \frac{{2{{\log }_a}x.{{\log }_c}z}}{{{{\log }_a}x + {{\log }_c}z}}\)?

Để tính độ tuổi của mẫu vật bằng gỗ, người ta đo độ phóng xạ của \({}_6^{14}C\) có trong mẫu vật tại thời điểm \(t\)(năm) (so với thời điểm ban đầu \(t = 0\)), sau đó sử dụng công thức tính độ phóng xạ \(H = {H_0}{e^{ - \lambda t}}\) (đơn vị là Becquerel, kí hiệu Bq) với \({H_0}\) là độ phóng xạ ban đầu (tại thời điểm \(t = 0\)); \(\lambda = \frac{{\ln 2}}{T}\) là hằng số phóng xạ, \(T = 5730\)(năm) (Nguồn: Vật lí 12 Nâng cao, NXBGD Việt Nam, 2014). Khảo sát một mẫu gỗ cổ, các nhà khoa học đo được độ phóng xạ là 0,215 Bq. Biết độ phóng xạ của mẫu gỗ tươi cùng loại là 0,250 Bq. Xác định độ tuổi của mẫu gỗ cổ đó (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)?