Giải bài tập Toán 11 Cánh Diều Chương 3 Bài 1: Giới hạn của dãy số

Zénon (Zê – nông, 496 – 429 trước Công Nguyên) là một triết gia Hy Lạp ở thành phố Edée đã phát biểu nghịch lí như sau: Achilles (A – sin) là một lực sĩ trong thần thoại Hy Lạp, người được mệnh danh là “có đôi chân chạy nhanh như gió” đuổi theo một con rùa trên một đường thẳng. Nếu lúc xuất phát, rùa ở điểm A1 cách Achilles một khoảng bằng a khác 0. Khi Achilles chạy đến vị trí của rùa xuất phát thì rùa chạy về phía trước một khoảng (như Hình 1). Quá trình này tiếp tục vô hạn. Vì thế, Achilles không bao giờ đuổi kịp rùa.

Trên thực tế, Achilles không đuổi kịp rùa là vô lí. Kiến thức toán học nào có thể giải thích được nghịch lí Zénon nói trên là không đúng?

Hình 2 biểu diễn các số hạng của dãy số (u_n), với u­_n = $\frac{1}{n}$ trên hệ trục tọa độ.

a) Nhận xét về sự thay đổi các giá trị u_n khi n ngày càng lớn?

b) Hoàn thành bảng và trả lời câu hỏi sau:

Kể từ số hạng u_n nào của dãy số thì khoảng cách từ u_n đến 0 nhỏ hơn 0,001? 0,0001?

Chứng minh rằng:

a) \(lim 0 = 0\);

b) \( lim \frac{1}{\sqrt{n}}=0.\)

Cho dãy số (\({{u}_{n}}\)), với \({{u}_{n}}=2+\frac{1}{n}\). Tính \(\underset{n\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,{{u}_{n}}-2\)?

Chứng minh rằng: \(\lim \left( \frac{-4n+1}{n} \right)=-4\)?

Chứng minh rằng: \(\lim \left( \frac{{{e}^{n}}}{\pi } \right)=0\)?

Cho hai dãy số (\({{u}_{n}}\)), (\({{v}_{n}}\)) với \({{u}_{n}}=8+\frac{1}{n};{{v}_{n}}=4-\frac{2}{n}\).

a) Tính limu_n, limv_n?

b) Tính lim(u_n + v_n) và so sánh giá trị đó với tổng limu_n + limv_n?

c) Tính lim(u_n.v_n) và so sánh giá trị đó với tổng limu_n.limv_n?

Tính các giới hạn sau:

a) \(\lim \left( \frac{8{{n}^{2}}+n}{{{n}^{2}}} \right)\)

b) \(\lim \left( \frac{\sqrt{4+{{n}^{2}}}}{n} \right)\)

Cho cấp số nhân (\(u_n\)), với \(u_1 = 1\) và công bội \(q =\) $\frac{1}{2}$.

a) Hãy so sánh |q| với 1?

b) Tính S_n = u₁ + u₂ + ... + u_n. Từ đó, hãy tính limS_n?

Tính tổng \(M=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{{{2}^{2}}}-...+-{{\frac{1}{2}}^{n-1}}+...\)?$\mathrm{}$

Giải thích vì sao nghịch lí Zénon trong phần mở đầu là không đúng?

Quan sát dãy số (\(u_n\)) với \(u_­n = n^2\) và cho biết giá trị của \(u_n\) có thể lớn hơn một số dương bất kì được hay không kể từ một số hạng nào đó trở đi?

Tính \(lim(– n^3)\)?

Chứng tỏ rằng \(lim (\frac{n-1}{n^2}) = 0\)?

Cho hai dãy số (\(u_n\)), (\(v_n\)) với \(u_n = 3 + \frac{1}{n}\), \(v_n = 5 – \frac{2}{n^2}\). Tính các giới hạn sau:

a) limu_n, limv_n;

b) lim(u_n + v_n), lim(u_n – v_n), lim(u_n.v_n), lim$\frac{u_n}{v_n}$.

Tính các giới hạn sau:

a) lim $\frac{\mathrm{ 5}n+1}{2n}$;

b) lim $\frac{6n^2+8n+1}{5n^2+3}$;

c) lim $\frac{\sqrt{n^2+5n+3}}{6n+2}$;

d) lim$\left(\mathrm{ 2}-\frac{1}{3^n}\right)$;

e) lim $\frac{3^n+2^n}{{4.3}^n}$;

g) lim $\frac{2+\frac{1}{n}}{3^n}$.

a) Tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn (u_n­), với u₁ = $\frac{2}{3}$, q = -$\frac{1}{4}$?

b) Biểu diễn số thập phân vô hạn tuần hoàn 1,(6) dưới dạng phân số?

Từ hình vuông có độ dài cạnh bằng 1, người ta nối các trung điểm của cạnh hình vuông để tạo ra hình vuông mới như Hình 3. Tiếp tục quá trình này đến vô hạn.

a) Tính diện tích S_n của hình vuông được tạo thành ở bước thứ n?

b) Tính tổng diện tích của tất cả các hình vuông được tạo thành?

Có 1 kg chất phóng xạ độc hại. Biết rằng, cứ sau một khoảng thời gian T = 24 000 năm thì một nửa số chất phóng xạ này bị phân ra thành chất khác không độc hại đối với sức khỏe của con người (T được gọi là chu kì bán rã).

(Nguồn: Đại số và Giải tích 11, NXB GD Việt Nam, 2021).

Gọi u_n là khối lượng chất phóng xạ còn lại sau chu kì thứ n.

a) Tìm số hạng tổng quát u_n của dãy số (u_n)?

b) Chứng minh rằng (u_n) có giới hạn là 0?

c) Từ kết quả câu b), chứng tỏ rằng sau một số năm nào đó khối lượng chất phóng xạ đã cho ban đầu không còn độc hại đối với con người, biết rằng chất phóng xạ này sẽ không độc hại nữa nếu khối lượng chất phóng xạ còn bé lại bé hơn 10^{– 6} g?

Gọi C là nửa đường tròn đường kính AB = 2R.

- C₁ là đường gồm hai nửa đường tròn đường kính $\frac{AB}{2}$.

- C₂ là đường gồm bốn nửa đường tròn đường kính $\frac{AB}{4}$, ...

- C_n là đường gồm 2ⁿ nửa đường tròn đường kính $\frac{AB}{2^n}$,...(Hình 4).

Gọi P_n là độ dài của C_n­, S_n là diện tích hình phẳng giới hạn bởi C_n và đoạn thẳng AB.

a) Tính p_n, S_n?

b) Tìm giới hạn của các dãy số (p_n) và (S_n)?

Phát biểu nào sau đây là SAI?

A. \(\lim \frac{1}{{{2^n}}} = 0\)

B. \(\lim {\left( {\frac{3}{2}} \right)^n} = 0\)

C. \(\lim \frac{1}{{{{\left( {\sqrt 2 } \right)}^n}}} = 0\)

D. \(\lim {\left( { - \frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)^n} = 0\)

Cho \(\lim {u_n} = a\), \(\lim {v_n} = b\). Phát biểu nào sau đây là SAI?

A. \(\lim \left( {{u_n} + {v_n}} \right) = a + b\)

B. \(\lim \left( {{u_n} - {v_n}} \right) = a - b\)

C. \(\lim \left( {{u_n}.{v_n}} \right) = a.b\)

D. \(\lim \frac{{{u_n}}}{{{v_n}}} = \frac{{a - b}}{b}\)

Nếu \(\lim {u_n} = C\) và \(\lim {v_n} = + \infty \) (hoặc \(\lim {v_n} = - \infty \)) thì \(\lim \frac{{{u_n}}}{{{v_n}}}\) bằng:

A. \(0\)

B. \( - \infty \)

C. \( + \infty \)

D. \( - \infty \) hoặc \( + \infty \)

Phát biểu nào sau đây là SAI?

A. Nếu \(\lim {u_n} = + \infty \) và \(\lim {v_n} = C\), \(C > 0\) thì \(\lim \frac{{{u_n}}}{{{v_n}}} = + \infty \).

B. Nếu \(\lim {u_n} = - \infty \) và \(\lim {v_n} = C\), \(C < 0\) thì \(\lim \frac{{{u_n}}}{{{v_n}}} = + \infty \).

C. Nếu \(\lim {u_n} = + \infty \) và \(\lim {v_n} = C\), \(C < 0\) thì \(\lim \frac{{{u_n}}}{{{v_n}}} = 0\).

D. Nếu \(\lim {u_n} = - \infty \) và \(\lim {v_n} = C\), \(C > 0\) thì \(\lim \frac{{{u_n}}}{{{v_n}}} = - \infty \).

Phát biểu nào sau đây là đúng?

A. Nếu \(\lim {u_n} = a\) thì \(\lim \sqrt {{u_n}} = \sqrt a \).

B. Nếu \(\lim {u_n} = a\) thì \(a \ge 0\) và \(\lim \sqrt {{u_n}} = \sqrt a \).

C. Nếu \(\lim {u_n} = a\) thì \(a \ge 0\).

D. Nếu \({u_n} \ge 0\) với mọi \(n\) và \(\lim {u_n} = a\) thì \(a \ge 0\) và \(\lim \sqrt {{u_n}} = \sqrt a \).

Chứng minh rằng \(\lim \frac{{{{\left( { - 1} \right)}^n}}}{{{n^2}}} = 0\)?

Cho hai dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\), \(\left( {{v_n}} \right)\) với \({u_n} = 3 - \frac{4}{{n + 1}}\), \({v_n} = 8 - \frac{5}{{3{n^2} + 2}}\). Tính:

a) \(\lim {u_n}\), \(\lim {v_n}\)

b) \(\lim \left( {{u_n} + {v_n}} \right)\), \(\lim \left( {{u_n} - {v_n}} \right)\), \(\lim \left( {{u_n}.{v_n}} \right)\), \(\lim \frac{{{u_n}}}{{{v_n}}}\)

Tính các giới hạn sau:

a) \(\lim \frac{{4n + 2}}{3}\)

b) \(\lim \frac{{3n + 4}}{{ - 5 + \frac{2}{n}}}\)

c) \(\lim \frac{{ - 3 + \frac{1}{{n + 1}}}}{{{5^n}}}\)

d) \(\lim \left( {6 - \frac{5}{{{4^n}}}} \right)\)

Tính các giới hạn sau:

a) \(\lim \frac{{6n - 5}}{{3n}}\)

b) \(\lim \frac{{ - 2{n^2} - 6n + 2}}{{8{n^2} - 5n + 4}}\)

c) \(\lim \frac{{{n^3} - 5n + 1}}{{3{n^2} - 4n + 2}}\)

d) \(\lim \frac{{ - 4n + 1}}{{9{n^2} - n + 2}}\)

e) \(\lim \frac{{\sqrt {4{n^2} + n + 1} }}{{8n + 3}}\)

g) \(\lim \frac{{{4^n} + {5^n}}}{{{{3.4}^n} - {{4.5}^n}}}\)

a) Tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn \(\left( {{u_n}} \right)\) với \({u_1} = \frac{5}{4}\), \(q = - \frac{1}{3}\).

b) Biểu diễn số thập phân vô hạn tuần hoàn \(2,\left( 3 \right)\) dưới dạng phân số.

Từ độ cao 100 m, người ta thả một quả bóng cao su xuống đất. Giả sử cứ sau mỗi lần chạm đất, quả bóng nảy lên một độ cao bằng \(\frac{1}{4}\) độ cao mà quả bóng đạt được trước đó. Gọi \({h_n}\) là độ cao quả bóng đạt được ở lần nảy thứ \(n\).

a) Tìm số hạng tổng quát của dãy số \(\left( {{h_n}} \right)\).

b) Tính giới hạn của dãy số \(\left( {{h_n}} \right)\) và nêu ý nghĩa giới hạn của dãy số \(\left( {{h_n}} \right)\).

c) Gọi \({S_n}\) là tổng độ dài quãng đường đi được của quả bóng từ lúc bắt đầu thả quả bóng đến khi quả bóng chạm đất lần thứ \(n\). Tính \({S_n}\), nếu quá trình này cứ tiếp tục diễn ra mãi thì tổng quãng đường quả bóng di chuyển được là bao nhiêu?