Bài 6 trang 65 SGK Toán 11 Cánh diều Tập 1

Gọi C là nửa đường tròn đường kính AB = 2R.

- C₁ là đường gồm hai nửa đường tròn đường kính $\frac{A B}{2}$ .

- C₂ là đường gồm bốn nửa đường tròn đường kính $\frac{A B}{4}$ , ...

- C_n là đường gồm 2ⁿ nửa đường tròn đường kính $\frac{A B}{2^{n}}$ ,...(Hình 4).

Gọi P_nlà độ dài của C_n, S_n là diện tích hình phẳng giới hạn bởi C_n và đoạn thẳng AB.

a) Tính p_n, S_n?

b) Tìm giới hạn của các dãy số (p_n) và (S_n)?

Bài 6 trang 65 Toán 11 Tập 1 | Cánh diều Giải Toán 11

Hướng dẫn giải chi tiết Bài 6

+) Ta có: p₁ = $\frac{π R}{2}$ ; p₂ = $\frac{π R}{4} = \frac{π R}{2^{2}}$ ; p₃ = $\frac{π R}{8} = \frac{π R}{2^{3}}$ ; ...

(p_n) lập thành một cấp số nhân lùi vô hạn với số hạng đầu p₁ = $\frac{π R}{2}$ và công bội q = $\frac{1}{2}$ <1 có số hạng tổng quát p_n = $\frac{π R}{2} . {(\frac{1}{2})}^{n - 1}$ .

+) Ta có: C₁ = $\frac{π R^{2}}{4}$ ; C₂ = $\frac{π R^{2}}{4^{2}}$ ; C₃ = $\frac{π R^{3}}{4^{3}}$ ; ...

(C_n) lập thành một cấp số nhân lùi vô hạn với số hạng đầu C₁ = $\frac{π R^{2}}{4}$ và công bội q = $\frac{1}{4}$ <1có số hạng tổng quát C_n = $\frac{π R}{4} . {(\frac{1}{4})}^{n - 1}$ .