Bài tập 4.41 trang 172 SBT Toán 11

Đặt \(f\left( x \right) = {x^n} + {a_1}{x^{n - 1}} + {a_2}{x^{n - 2}} + ... + {a_{n - 1}}x + {a_n}\)

f(x) là hàm đa thức nên xác định và liên tục trên R

Ta có

\(\begin{array}{*{20}{l}}
{\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left( {{x^n} + {a_1}{x^{n - 1}} + {a_2}{x^{n - 2}} + ... + {a_{n - 1}}x + {a_n}} \right)}\\
{ = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } {x^n}\left( {1 + \frac{{{a_1}}}{x} + \frac{{{a_2}}}{{{x^2}}} + ... + \frac{{{a^{n - 1}}}}{{{x^{n - 1}}}} + \frac{{{a^n}}}{{{x^n}}}} \right) =  + \infty }
\end{array}\)

Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } f\left( x \right) =  + \infty \) nên với dãy (x_n) bất kì mà x_n→+∞ ta luôn có \(\lim f({x_n}) =  + \infty \)$.$

Do đó f(x_n) có thể nhỏ hơn một số dương bất kì kể từ số hạng nào đó trở đi.

Nếu số dương đó là 1 thì f(x_n) > 1 kể từ số hạng nào đó trở đi. 

Hay luôn tồn tại một số a$a$ sao cho f(a) > 1

\(\begin{array}{*{20}{l}}
{\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \left( {{x^n} + {a_1}{x^{n - 1}} + {a_2}{x^{n - 2}} + ... + {a_{n - 1}}x + {a_n}} \right)}\\
{ = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } {x^n}\left( {1 + \frac{{{a_1}}}{x} + \frac{{{a_2}}}{{{x^2}}} + ... + \frac{{{a^{n - 1}}}}{{{x^{n - 1}}}} + \frac{{{a^n}}}{{{x^n}}}} \right) =  - \infty }
\end{array}\)

(vì n là số lẻ)

Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } f\left( x \right) =  - \infty \) nên với dãy (x_n) bất kì mà x_n → −∞ ta luôn có \(\lim f({x_n}) =  - \infty \) hay \(\lim [ - f({x_n})] =  + \infty \).

Do đó −f(x_n) có thể nhỏ hơn một số dương bất kì kể từ số hạng nào đó trở đi.

Nếu số dương đó là 1 thì −f(x_n) > 1 kể từ số hạng nào đó trở đi. 

Hay luôn tồn tại một số b sao cho −f(b) > 1 ⇔ f(b) < −1

Do vậy f(a).f(b) < 0.

Mặt khác hàm số f(x) liên tục trên R nên liên tục trên [a;b].

Do đó phương trình f(x) = 0 luôn có nghiệm.

-- Mod Toán 11 HỌC247