HOC247 tóm tắt lý thuyết về Bài 3: Hàm số liên tục trong sách Toán 11 Cánh Diều. Đặc biệt, các em còn có thể tham khảo bài tập minh họa sau bài học với hướng dẫn giải chi tiết. Điều này giúp các em nắm được phương pháp giải các dạng toán liên quan đến hàm số liên tục. Vì vậy, hãy học tập với tinh thần cao và cố gắng tận hưởng quá trình học tập. Chúc các em học tập thật tốt!
Tóm tắt lý thuyết
1.1. Khái niệm
a. Hàm số liên tục tại một điểm
|
Cho hàm số \(y = f(x)\) xác định trên khoảng (a; b) và x0 ∈ (a; b). Hàm số \(y = f(x)\) được gọi là liên tục tại \({x_0}\) nếu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f(x) = f({x_0})\). |
Nhận xét: Hàm số \(y = f(x)\) không liên tục tại \({x_0}\) được gọi là gián đoạn tại \({x_0}\).
b. Hàm số liên tục trên một khoảng hoặc một đoạn
|
- Hàm số \(y = f(x)\) được gọi là liên tục trên khoảng (a;b) nếu hàm số đó liên tục tại mọi điểm thuộc khoảng đó. - Hàm số \(y = f(x)\) được gọi là liên tục trên đoạn \(\left[ {a;b} \right]\) nếu hàm số đó liên tục trên \(\left( {a;b} \right)\) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ + }} f(x) = f(a)\), \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {b^ - }} f(x) = f(b)\). |
Chú ý: Khái niệm hàm số liên tục trên các tập hợp có dạng (a; b], [a; b), (a; + ∞), [a; + ∞), (– ∞; a), (– ∞; a], (– ∞; + ∞) được định nghĩa tương tự.
Nhận xét: Đồ thị hàm số liên tục trên một khoảng là “đường liền” trên khoảng đó.
1.2. Một số định lí cơ bản
a. Tính liên tục của một số hàm số sơ cấp cơ bản
|
- Các hàm đa thức và hai hàm số lượng giác \(y = \sin x, y=\cos x\) liên tục trên R. - Các hàm số phân thức hữu tỉ và hai hàm số lượng giác \(y = \tan x, y=\cot x\) liên tục trên từng khoảng xác định của chúng. - Hàm số căn thức \(y = \sqrt f(x)\) liên tục trên nửa khoảng [0; + ∞). |
b. Tính liên tục của tổng, hiệu, tích, thương của hai hàm số liên tục
|
Giả sử y = f(x) và y = g(x) là hai hàm số liên tục tại điểm x0. Khi đó: - Các hàm số \(y = f(x)+g(x),{\rm{ }}y =f(x)-g(x)\) và \(y = f(x).g(x)\) liên tục tại \({x_0}\) - Hàm số \(y = \frac{{f(x)}}{{g(x)}}\) liên tục tại x0 nếu g(x0) ≠ 0. |
Bài tập minh họa
Bài 1. Dùng định nghĩa xét tính liên tục của hàm số f(x) = x3 + 2x – 1 tại x0 = – 1.
Hướng dẫn giải
Ta có:
\(\begin{align} & \underset{x\to -1}{\mathop{\lim }}\,f(x)=\underset{x\to -1}{\mathop{\lim }}\,({{x}^{3}}+2x-1) \\ & =\underset{x\to -1}{\mathop{\lim }}\,{{x}^{3}}+\underset{x\to -1}{\mathop{\lim }}\,2x-\underset{x\to -1}{\mathop{\lim }}\,1 \\ & ={{(-1)}^{3}}+2(-1)-1=-4 \\ \end{align}\)
Mà \(f(-1)={{(-1)}^{3}}+2(-1)-1=-4\)
Suy ra: \(\underset{x\to -1}{\mathop{\lim }}\,f(x)=f(-1)=-4\)
Vậy hàm số đã cho liên tục tại x0 = – 1.
Bài 2. Xét tính liên tục của các hàm số sau trên tập xác định của hàm số đó:
a) \(f(x)=x+\operatorname{s}\text{inx}\)
b) \(g(x)=\frac{{{x}^{2}}+3}{x-2}\)
c) \(h(x)=\frac{\cos x}{{{x}^{2}}+1}\)
Hướng dẫn giải
a) Hàm số f(x) có tập xác định là ℝ.
Hai hàm số x và sinx liên tục trên ℝ nên hàm số f(x) = x + sinx liên tục trên ℝ.
b) Hàm số \(g(x)=\frac{{{x}^{2}}+3}{x-2}\) có tập xác định là ℝ\{2}.
Do đó hàm số \(g(x)=\frac{{{x}^{2}}+3}{x-2}\) liên tục trên mỗi khoảng (–∞; 2) và (2; +∞).
c) Hàm số h(x) có tập xác định là ℝ.
Vì tử thức cosx liên tục ℝ và mẫu thức x2 + 1 ≠ 0 liên tục trên ℝ.
Vậy h(x) liên tục trên ℝ.
Luyện tập Bài 3 Chương 3 Toán 11 Cánh Diều
Học xong bài học này, em có thể:
- Nhận dạng được hàm số liên tục tại một điểm, hoặc trên một khoảng, hoặc trên một đoạn.
- Nhận biết tính liên tục của tổng, hiệu, tích, thương của hai hàm số liên tục, tính liên tục của một số hàm số sơ cấp cơ bản.
3.1. Trắc nghiệm Bài 3 Chương 3 Toán 11 Cánh Diều
Các em có thể hệ thống lại nội dung kiến thức đã học được thông qua bài kiểm tra Trắc nghiệm Toán 11 Cánh Diều Chương 3 Bài 3 cực hay có đáp án và lời giải chi tiết.
-
- A. \(m=0\).
- B. \(m=2\).
- C. \(m=1\).
- D. \(m=3\).
-
- A. Hàm số \(f\left( x \right)\) xác định trên \(\left( a;b \right)\) được gọi là liên tục tại \({{x}_{0}}\in \left( a;b \right)\) nếu \(\underset{x\to {{x}_{0}}^{+}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=\underset{x\to {{x}_{0}}^{-}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=f\left( {{x}_{0}} \right)\).
- B. Nếu hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên \(\left[ a;b \right]\) thì \(f\left( x \right)\) đạt giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất trên \(\left[ a;b \right]\).
- C. Nếu hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên \(\left[ a;b \right]\) và \(f\left( a \right).f\left( b \right)>0\) thì phương trình \(f\left( x \right)=0\) không có nghiệm trên \(\left( a;b \right)\).
- D. Các hàm đa thức, hàm lượng giác liên tục tại mọi điểm mà nó xác định.
-
- A. \(1\).
- B. \(0\).
- C. \(2\).
- D. \(-1\).
Câu 4-10: Mời các em đăng nhập xem tiếp nội dung và thi thử Online để củng cố kiến thức về bài học này nhé!
3.2. Bài tập SGK Bài 3 Chương 3 Toán 11 Cánh Diều
Các em có thể xem thêm phần hướng dẫn Giải bài tập Toán 11 Cánh Diều Chương 3 Bài 3 để giúp các em nắm vững bài học và các phương pháp giải bài tập.
Khởi động trang 73 SGK Toán 11 Cánh diều Tập 1 - CD
Hoạt động 1 trang 73 SGK Toán 11 Cánh diều Tập 1 - CD
Luyện tập 1 trang 74 SGK Toán 11 Cánh diều Tập 1 - CD
Hoạt động 2 trang 74 SGK Toán 11 Cánh diều Tập 1 - CD
Luyện tập 2 trang 75 SGK Toán 11 Cánh diều Tập 1 - CD
Hoạt động 3 trang 75 SGK Toán 11 Cánh diều Tập 1 - CD
Luyện tập 3 trang 76 SGK Toán 11 Cánh diều Tập 1 - CD
Hoạt động 4 trang 76 SGK Toán 11 Cánh d - CDiều Tập 1
Luyện tập 4 trang 76 SGK Toán 11 Cánh diều Tập 1 - CD
Bài 1 trang 77 SGK Toán 11 Cánh diều Tập 1 - CD
Bài 2 trang 77 SGK Toán 11 Cánh diều Tập 1 - CD
Bài 3 trang 77 SGK Toán 11 Cánh diều Tập 1 - CD
Bài 4 trang 77 SGK Toán 11 Cánh diều Tập 1 - CD
Bài 5 trang 77 SGK Toán 11 Cánh diều Tập 1 - CD
Bài 6 trang 77 SGK Toán 11 Cánh diều Tập 1 - CD
Bài tập 26 trang 80 SBT Toán 11 Tập 1 Cánh diều - CD
Bài tập 27 trang 81 SBT Toán 11 Tập 1 Cánh diều - CD
Bài tập 28 trang 81 SBT Toán 11 Tập 1 Cánh diều - CD
Bài tập 29 trang 81 SBT Toán 11 Tập 1 Cánh diều
Bài tập 30 trang 81 SBT Toán 11 Tập 1 Cánh diều - CD
Bài tập 31 trang 81 SBT Toán 11 Tập 1 Cánh diều - CD
Hỏi đáp Bài 3 Chương 3 Toán 11 Cánh Diều
Trong quá trình học tập nếu có thắc mắc hay cần trợ giúp gì thì các em hãy comment ở mục Hỏi đáp, Cộng đồng Toán học HOC247 sẽ hỗ trợ cho các em một cách nhanh chóng!
Chúc các em học tập tốt và luôn đạt thành tích cao trong học tập!
-- Mod Toán Học 11 HỌC247
