Giải bài tập Toán 11 Cánh Diều Chương 3 Bài 3: Hàm số liên tục

Cầu sông Hàn là một trong những cây cầu bắc qua sông Hàn ở Đà Nẵng. Đây là cây cầu đầu tiên do kĩ sư, công nhân Việt Nam tự thiết kế và thi công. Khi cầu không quay (Hình 10a), mặt cầu liền mạch nên các phương tiện có thể đi lại giữa hai đầu cầu. Khi cầu quay (Hình 10b) để các tàu, thuyền có thể đi qua thì mặt cầu không còn liền mạch nữa, các phương tiện không thể đi qua giữa hai đầu cầu.

Kiến thức gì trong toán học thể hiện chuyển động có đường đi là đường liền mạch?

Quan sát đồ thị hàm số f(x) = x ở Hình 11.

a) Tính $\underset{x\to 1}{\lim }$f(x)?

b) So sánh $\underset{x\to 1}{\lim }$f(x)và f(1)?

Xét tính liên tục của hàm số \(f(x) = x^3 + 1\) tại \(x_0 = 1\)?

Cho hàm số f(x) = x + 1 với x ∈ ℝ.

a) Giả sử x₀ ∈ ℝ. Hàm số f(x) có liên tục tại điểm x₀ hay không?

b) Quan sát đồ thị hàm số f(x) = x + 1 với x ∈ ℝ (Hình 13), nêu nhận xét về đặc điểm của đồ thị hàm số đó?

Hàm số \(f(x)=\left\{ \begin{matrix} x-1,x<2 \\ -x,x\ge 2 \\ \end{matrix} \right.\). Có liên tục trên ℝ hay không?

Quan sát đồ thị các hàm số: y = x² – 4x + 3 (Hình 14a); y = $\frac{x+1}{x-1}\left(x\ne 1\right)$(Hình 14b); y = tanx (Hình 14c) và nêu nhận xét về tính liên tục của mỗi hàm số đó trên từng khoảng của tập xác định?

Hàm f(x) = $\frac{x+2}{x-8}$ có liên tục trên mỗi khoảng (– ∞; 8), (8; + ∞) hay không?

Cho hai hàm số f(x) = x³ + x và g(x) = x² + 1 (x ∈ ℝ). Hãy cho biết:

a) Hai hàm số f(x), g(x) có liên tục tại x = 2 hay không?

b) Các hàm số f(x) + g(x); f(x) – g(x); f(x).g(x); $\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}$ có liên tục tại x = 2 hay không?

Xét tính liên tục của hàm số f(x) = sinx + cosx trên ℝ.

Dùng định nghĩa xét tính liên tục của hàm số f(x) = 2x³ + x + 1 tại điểm x = 2?

Trong các hàm số có đồ thị ở Hình 15a, 15b, 15c, hàm số nào liên tục trên tập xác định của hàm số đó? Giải thích.

Bạn Nam cho rằng: “Nếu hàm số y = f(x) liên tục tại điểm x₀, còn hàm số y = g(x) không liên tục tại x₀, thì hàm số y = f(x) + g(x) không liên tục tại x₀”. Theo em, ý kiến của bạn Nam đúng hay sai? Giải thích.

Xét tính liên tục của mỗi hàm số sau trên tập xác định của hàm số đó:

a) f(x) = x² + sinx;

b) g(x) = x⁴ – x² + $\frac{6}{x-1}$;

c) h(x) = $\frac{2x}{x-3}+\frac{x-1}{x+4}$.

Cho hàm số \(f(x)=\left\{ \begin{matrix} {{x}^{2}}+x+1,x\ne 4 \\ 2a+1,x=4 \\ \end{matrix} \right.\)

a) Với a = 0, xét tính liên tục của hàm số tại x = 4?

b) Với giá trị nào của a thì hàm số liên tục tại x = 4?

c) Với giá trị nào của a thì hàm số liên tục trên tập xác định của nó?

Hình 16 biểu thị độ cao h(m) của một quả bóng đá lên theo thời gian t(s), trong đó h(t) = – 2t² + 8t.

a) Chứng tỏ hàm số h(t) liên tục trên tập xác định?

b) Dựa vào đồ thị hãy xác định $\underset{t\to 2}{\lim }\left(-2t^2+8t\right)$?

Phát biểu nào sau đây là đúng?

A. Hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục tại \(x = a\) khi và chỉ khi \(\mathop {\lim }\limits_{x \to a} f\left( x \right) = f\left( a \right)\).

B. Hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục tại \(x = a\) khi và chỉ khi \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ - }} f\left( x \right) = f\left( a \right)\).

C. Hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục tại \(x = a\) khi và chỉ khi \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ + }} f\left( x \right) = f\left( a \right)\).

D. Hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục tại \(x = a\) khi và chỉ khi \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ + }} f\left( x \right)\).

Cho đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) trong hình dưới đây. Phát biểu nào sau đây là SAI?

A. Hàm số \(y = f\left( x \right)\) không liên tục tại \(x = 1\).

B. Hàm số \(y = f\left( x \right)\) không liên tục tại \(x = 3\).

C. Hàm số \(y = f\left( x \right)\) không liên tục tại \(x = 5\).

D. Hàm số \(y = f\left( x \right)\) không liên tục tại \(x = 0\).

Quan sát đồ thị hàm số trong hình dưới đây và cho biết hàm số đó có liên tục:

a) Tại \(x = \frac{5}{3}\) hay không.

b) Trên khoảng \(\left( { - \infty ;0} \right)\) hay không.

Xét tính liên tục của các hàm số sau:

a) \(f\left( x \right) = - {x^2} + \cos x\)

b) \(g\left( x \right) = 3{x^3} + 2 - \frac{3}{{x + 2}}\)

c) \(h\left( x \right) = \frac{{2x + 5}}{{x + 2}} + \frac{{3x - 1}}{{2x - 4}}\)

Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}{x^2} - x{\rm{ }}\left( {x \ge 1} \right)\\x + a{\rm{ }}\left( {x < 1} \right)\end{array} \right.\)

a) Với \(a = 2\), xét tính liên tục của hàm số tại \(x = 1\).

b) Tìm \(a\) để hàm số liên tục trên \(\mathbb{R}\).

Theo quyết định số 2019/QĐ-BĐVN ngày 01/11/2018 của Tổng công ty Bưu điện Việt Nam, giá cước dịch vụ Bưu chính phổ cập đối với dịch vụ thư cơ bản và bưu thiếp trong nước có khối lượng đến 250 g như trong bảng sau:

a) Hãy biểu diễn số tiền phải trả khi sử dụng dịch vụ thư cơ bản và bưu thiếp theo khối lượng của thư cơ bản và bưu thiếp.

b) Hàm số trên có liên tục trên tập xác định hay không?