Hãy cùng HOC247 tìm hiểu nội dung bài giảng và bài tập của Bài Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng. Góc nhị diện trong chương trình Toán 11 Chân trời sáng tạo để nắm rõ hơn về Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng, góc nhị diện và góc phẳng nhị diện nhé!
Tóm tắt lý thuyết
1.1. Phép chiếu vuông góc
Phép chiếu song song lên mặt phẳng (P) theo phương \(\Delta\) vuông góc với (P) được gọi là phép chiếu vuông góc lên mặt phẳng (P).
Chú ý:
+ Vì phép chiếu vuông góc lên một mặt phẳng là một trường hợp đặc biệt của phép chiếu song song nên nó có mọi tính chất của phép chiếu song song.
+ Phép chiếu vuông góc lên mặt phẳng (P) còn được gọi đơn giản là phép chiếu lên mặt phẳng (P). Hình chiếu vuông góc \(\mathcal{H}'\) của hình \(\mathcal{H}\) trên mặt phẳng (P) còn được gọi là hình chiếu của \(\mathcal{H}\) trên mặt phẳng (P).
Định lí ba đường vuông góc:
|
Cho đường thẳng a và mặt phẳng (P) không vuông góc với nhau. Khi đó, một đường thẳng b nằm trong mặt phẳng (P) vuông góc với đường thẳng a khi và chỉ khi b vuông góc với hình chiếu vuông góc a' của a trên (P). |
1.2. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng
- Nếu đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng (P) thì ta nói rằng góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng (P) bằng 90°.
- Nếu đường thẳng a không vuông góc với mặt phẳng (P) thì góc giữa a và hình chiếu a của nó trên (P) được gọi là góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng (P).
Chú ý: Nếu \(\alpha\) là góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng (P) thì 0\( \le \alpha \le\)90°.
Bài tập minh họa
Câu 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Biết SA=\(a\sqrt 3 \), AB=\(a\) và BC=\(2a\sqrt 2 \).
a. Xác định và tính góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng đáy (ABCD).
b. Xác định và tính góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và mặt đáy (ABCD).
Lời giải chi tiết:
a. Ta có \(SA \bot \left( {ABCD} \right)\)
=> A là hình chiếu của S lên (ABCD).
=> AC là hình chiếu của SC lên (ABCD).
=> Góc giữa SC và (ABCD) là góc giữa SC và AC và bằng \(\widehat {SCA}\).
Ta có ABCD là hình chữ nhật nên \(AC = \sqrt {A{B^2} + B{C^2}} = 3a\)
\(\tan \widehat {SCA} = \dfrac{{SA}}{{AC}} = \dfrac{{\sqrt 3 }}{3} = > \widehat {SCA} = 30^\circ \)
Vậy góc giữa SC và (ABCD) là \(30^\circ \).
b. Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}BC \bot AB\\BC \bot SA\left( {SA \bot \left( {ABCD} \right)} \right)\end{array} \right.\)
=>\(BC \bot \left( {SAB} \right) \Rightarrow \left( {SBC} \right) \bot \left( {SAB} \right)\)
Mà \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {SAB} \right) \bot \left( {ABCD} \right)\\\left( {SAB} \right) \cap \left( {SBC} \right) = SB\\\left( {SAB} \right) \cap \left( {ABCD} \right) = AB\end{array} \right.\)
=> Góc giữa (SBC) và (ABCD) là \(\widehat {SBA}\)
\(\tan \widehat {SBA} = \dfrac{{SA}}{{BA}} = \sqrt 3 \Rightarrow \widehat {SBA} = 60^\circ \).
Vậy góc giữa (SBC) và (ABCD) là \(60^\circ \).
Câu 1:
Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt phẳng đáy, \(SA = a\sqrt 6\). Tính sin của góc giữa:
a) SC và (SAB).
b) AC và (SBC).
Hướng dẫn giải
.png)
a) Ta có: \(BC \bot AB{\rm{ (gt)}}\).
\(SA \bot BC\) (Vì \(SA \bot (ABCD)\))
Suy ra: \(BC \bot (SAB).\)
Do đó: SB là hình chiếu vuông góc của SC trên mặt phẳng (SAB).
\(\Rightarrow (SC,(SAB)) = \widehat {BSC}.\)
Ta có: \(\sin (SC,(SAB)) = \sin \widehat {BSC} = \frac{{BC}}{{SC}} = \frac{a}{{\sqrt {S{A^2} + A{C^2}} }} = \frac{{\sqrt 2 }}{4}\).
b) Trong mặt phẳng (SAB) kẻ: \(AH \bot SB{\rm{ (H}} \in {\rm{SB)}}.\)
Theo câu a ta có: \(BC \bot (SAB) \Rightarrow AH \bot BC\) nên \(AH \bot (SBC)\) hay CH là hình chiếu vuông góc của AC trên mặt phẳng (SBC).
\(\Rightarrow (AC,(SBC)) = \widehat {ACH}.\)
Xét tam giác vuông SAB có: \(\frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{1}{{A{B^2}}} + \frac{1}{{S{A^2}}} = \frac{7}{{6{a^2}}} \Rightarrow AH = a.\sqrt {\frac{6}{7}} .\)
Vậy: \(\sin (AC,(SBC)) = \sin \widehat {ACH} = \frac{{AH}}{{AC}} = \frac{{\sqrt {21} }}{7}.\)
Luyện tập Bài 24 Toán 11 Kết Nối Tri Thức
Học xong bài học này, em có thể:
- Nhận biết phép chiếu vuông góc. Xác định hình chiếu vuông góc của một điểm, một đường thẳng, một tam giác.
- Giải thích định lí ba đường vuông góc. Nhận biết và tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng trong một số trường hợp đơn giản.
- Vận dụng kiến thức về góc giữa đường thẳng và mặt phẳng để mô tả một số hình ảnh thực tế.
3.1. Trắc nghiệm Bài 24 Toán 11 Kết Nối Tri Thức
Các em có thể hệ thống lại nội dung kiến thức đã học được thông qua bài kiểm tra Trắc nghiệm Toán 11 Kết nối tri thức Chương 7 Bài 24 cực hay có đáp án và lời giải chi tiết.
-
- A. Góc giữa \(AC\) và \(\left( BCD \right)\) là góc \(ACB\).
- B. Góc giữa \(AD\) và \(\left( ABC \right)\) là góc \(ADB\).
- C. Góc giữa \(AC\) và \(\left( ABD \right)\) là góc \(CAB\).
- D. Góc giữa \(CD\) và \(\left( ABD \right)\) là góc \(CBD\).
-
- A. \(30{}^\circ \).
- B. \(45{}^\circ \).
- C. \(60{}^\circ \).
- D. \(90{}^\circ \).
-
- A. Góc giữa \(CD\) và \(\left( ABD \right)\) là góc \(\widehat{CBD}\).
- B. Góc giữa \(AC\) và \(\left( BCD \right)\) là góc \(\widehat{ACB}\).
- C. Góc giữa \(AD\) và \(\left( ABC \right)\) là góc\(\widehat{ADB}\).
- D. Góc giữa \(AC\) và \(\left( ABD \right)\) là góc \(\widehat{CBA}\).
Câu 4-10: Mời các em đăng nhập xem tiếp nội dung và thi thử Online để củng cố kiến thức về bài học này nhé!
3.2. Bài tập SGK Bài 24 Toán 11 Kết Nối Tri Thức
Các em có thể xem thêm phần hướng dẫn Giải bài tập Toán 11 Kết nối tri thức Chương 7 Bài 24 để giúp các em nắm vững bài học và các phương pháp giải bài tập.
Hoạt động 1 trang 38 SGK Toán 11 Kết nối tri thức tập 2 - KNTT
Hoạt động 2 trang 39 SGK Toán 11 Kết nối tri thức tập 2 - KNTT
Luyện tập 1 trang 40 SGK Toán 11 Kết nối tri thức tập 2 - KNTT
Hoạt động 3 trang 40 SGK Toán 11 Kết nối tri thức tập 2 - KNTT
Vận dụng trang 41 SGK Toán 11 Kết nối tri thức tập 2 - KNTT
Khám phá trang 42 SGK Toán 11 Kết nối tri thức tập 2 - KNTT
Trải nghiệm trang 42 SGK Toán 11 Kết nối tri thức tập 2 - KNTT
Giải Bài 7.10 trang 42 SGK Toán 11 Kết nối tri thức tập 2 - KNTT
Giải Bài 7.11 trang 42 SGK Toán 11 Kết nối tri thức tập 2 - KNTT
Giải Bài 7.12 trang 42 SGK Toán 11 Kết nối tri thức tập 2 - KNTT
Giải Bài 7.13 trang 43 SGK Toán 11 Kết nối tri thức tập 2 - KNTT
Giải Bài 7.14 trang 43 SGK Toán 11 Kết nối tri thức tập 2 - KNTT
Giải Bài 7.15 trang 43 SGK Toán 11 Kết nối tri thức tập 2 - KNTT
Bài tập 7.13 trang 30 SBT Toán 11 Tập 2 Kết nối tri thức - KNTT
Bài tập 7.14 trang 30 SBT Toán 11 Tập 2 Kết nối tri thức - KNTT
Bài tập 7.15 trang 30 SBT Toán 11 Tập 2 Kết nối tri thức - KNTT
Bài tập 7.16 trang 31 SBT Toán 11 Tập 2 Kết nối tri thức - KNTT
Bài tập 7.17 trang 31 SBT Toán 11 Tập 2 Kết nối tri thức - KNTT
Bài tập 7.18 trang 31 SBT Toán 11 Tập 2 Kết nối tri thức -
Hỏi đáp Bài 24 Toán 11 Kết Nối Tri Thức
Trong quá trình học tập nếu có thắc mắc hay cần trợ giúp gì thì các em hãy comment ở mục Hỏi đáp, Cộng đồng Toán học HOC247 sẽ hỗ trợ cho các em một cách nhanh chóng!
Chúc các em học tập tốt và luôn đạt thành tích cao trong học tập!
-- Mod Toán Học 11 HỌC247
