Bài học "Giới hạn của hàm số" sẽ giúp các em hiểu rõ hơn về khái niệm này và khám phá những ứng dụng thú vị của nó trong toán học và các môn học khác. Hãy sẵn sàng để khám phá và nâng cao kiến thức toán học của bạn thông qua bài học này nhé!
Tóm tắt lý thuyết
1.1. Giới hạn hữu hạn của hàm số tại một điểm
|
Cho điểm \(x_0\) thuộc khoảng \(K\) và hàm số \(y = f(x)\) xác định trên \(K\), hoặc \(K\setminus \{x_0\}\). Ta nói hàm số \(y = f(x)\) có giới hạn hữu hạn là số L khi x dần tới \(x_0\) nếu với dãy số (\(x_n\)) bất kì, \(x_n\in K\setminus \{x_0\}\) và \(x_n \to x_0\), thì \(f(x_n) \to L\). Kí hiệu: \(\lim \limits_{x \to {x_0} }f(x) = L\) hay \(f(x) \to L\) khi \(x_n \to x_0\). |
Nhận xét: \(\lim \limits_{x \to {x_0} }x ={x_0}\); \(\lim \limits_{x \to {x_0} }c ={c}\) (c là hằng số)
1.2. Các phép toán về giới hạn hữu hạn của hàm số
|
- Nếu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {f(x)} = L, \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {g(x)} =M\) thì + \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } [f(x) + g(x)] = L + M\) + \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } [f(x) - g(x)] = L - M\) + \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } [f(x).g(x)] = L.M\) + \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{{f(x)}}}{{{g(x)}}} = \frac{L}{M}{\rm{ (}}M \ne 0)\) - Nếu \({f(x)} \ge 0\) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {f(x)} = L\) thì \(L\ge 0\) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \sqrt {{f(x)}} = \sqrt L\) (Dấu của f(x) được xét trên khoảng tìm giới hạn, \(x\ne x_0\)). |
Nhận xét: \(\lim \limits_{x \to {x_0} }x^k ={x_0^k}\), k là số nguyên dương;
\(\lim \limits_{x \to {x_0} }[c f(x)]={c}\lim \limits_{x \to {x_0} } f(x)\) (c là hằng số, nếu tồn tại \(\lim \limits_{x \to {x_0} }f(x) \in R\))
1.3. Giới hạn một phía
|
- Cho hàm số \(y = f(x)\) xác định trên \(({x_0};b)\). Số \(L\) gọi là giới hạn bên phải của hàm số \(y = f(x)\) khi \(x \to {x_0}\) nếu với mọi dãy \(({x_n})\) thỏa mãn \({x_0} < {x_n} < b\) và \({x_n} \to {x_0}\) thì ta có: \(f({x_n}) \to L\). Kí hiệu: \(\lim \limits_{x \to x_0^ + } f(x) = L\). - Cho hàm số \(y = f(x)\) xác định trên \((a;{x_0})\). Số \(L\) gọi là giới hạn bên trái của hàm số \(y = f(x)\) khi \(x \to {x_0}\) nếu với mọi dãy \(({x_n})\) thỏa mãn \(a < {x_n} < {x_0}\) và \({x_n} \to {x_0}\) thì ta có: \(f({x_n}) \to L\). Kí hiệu: \(\lim \limits_{x \to x_0^ - } f(x) = L\). |
Chú ý:
- Ta thừa nhận các kết quả sau:
+ \(\lim \limits_{x \to {x_0^+} }f(x) = L\) và \(\lim \limits_{x \to {x_0^-} }f(x) = L\) khi và chỉ khi \(\lim \limits_{x \to {x_0} }f(x) = L\).
+ Nếu \(\lim \limits_{x \to {x_0^+} }f(x)\ne \lim \limits_{x \to {x_0^-} }f(x)\) thì không tồn tại \(\lim \limits_{x \to {x_0} }f(x)\).
- Các phép toán về giới hạn hữu hạn của hàm số ở Mục 2 vẫn đúng khi ta thay \(x \to {x_0}\) bằng \(x \to {x_0^+}\) hoặc \(x \to {x_0^-}\).
1.4. Giới hạn hữu hạn của hàm số tại vô cực
|
- Cho hàm số \(y = f(x)\) xác định trên khoảng \((a; +\infty)\). Ta nói hàm số \(y = f(x)\) có giới hạn hữu hạn là số L khi \(x \to +\infty\) nếu với dãy số (\(x_n\)) bất kì, \(x_n>a\) và \(x_n \to +\infty\), ta có \(f(x) \to L\). Kí hiệu: \(\lim \limits_{x \to +\infty }f(x) = L\) hay \(f(x) \to L\) khi \(x \to +\infty\). - Cho hàm số \(y = f(x)\) xác định trên khoảng \((-\infty; a)\). Ta nói hàm số \(y = f(x)\) có giới hạn hữu hạn là số L khi \(x \to -\infty\) nếu với dãy số (\(x_n\)) bất kì, \(x_n < a\) Kí hiệu: \(\lim \limits_{x \to -\infty }f(x) = L\) hay \(f(x) \to L\) khi \(x \to -\infty\). |
Chú ý:
- Với c là hằng số và k là số nguyên dương, ta luôn có:
+ \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } c = c\)
+ \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \frac{c}{{{x^k}}} = 0\).
- Các phép toán về giới hạn hữu hạn của hàm số ở Mục 2 vẫn đúng khi ta thay \(x \to {x_0}\) bằng \(x \to +\infty \) hoặc \(x \to -\infty \).
1.5. Giới hạn vô cực của hàm số tại một điểm
|
Cho hàm số \(y = f(x)\) xác định trên \(({x_0};b)\). - Ta nói hàm số \(y = f(x)\) có giới hạn bên phải là \(+\infty\) khi \(x \to {x_0}\) về bên phải nếu với mọi dãy \(({x_n})\) thỏa mãn \({x_0} < {x_n} < b\) và \({x_n} \to {x_0}\) thì ta có: \(f({x_n}) \to +\infty\). Kí hiệu: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } f(x) = +\infty\). - Ta nói hàm số \(y = f(x)\) có giới hạn bên phải là \(-\infty\) khi \(x \to {x_0}\) về bên phải nếu với mọi dãy \(({x_n})\) thỏa mãn \({x_0} < {x_n} < b\) và \({x_n} \to {x_0}\) thì ta có: \(f({x_n}) \to -\infty\). Kí hiệu: \(\lim\limits_{x \to x_0^ + } f(x) = -\infty\). |
Chú ý:
- Các giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ - } f(x) = +\infty\), \(\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ - } f(x) = -\infty\), \(\mathop {\lim }\limits_{x \to +\infty } f(x) = +\infty\), \(\mathop {\lim }\limits_{x \to +\infty } f(x) = -\infty\), \(\mathop {\lim }\limits_{x \to -\infty } f(x) = +\infty\), \(\mathop {\lim }\limits_{x \to -\infty } f(x) = -\infty\) được định nghĩa tương tự như trên.
- Ta có các giới hạn thường dùng sau:
+ \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ + }} \frac{1}{{x - a}} = + \infty \) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ - }} \frac{1}{{x - a}} = - \infty \) \(a\in R\).
+ \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {x^k} = + \infty \) với k nguyên dương.
+ \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {x^k} = + \infty \) nếu k là số chẵn.
+ \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {x^k} = - \infty \) nếu k là số lẻ.
- Các phép toán trên giới hạn hàm số của Mục 2 chỉ áp dụng được khi tất cả các hàm số được xét có giới hạn hữu hạn. Với giới hạn vô cực, ta có một số quy tắc sau đây.
Nếu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } f(x) = L \ne 0\) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } g(x) = +\infty\) hoặc ( \(\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } g(x) = -\infty\)) thì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } [f(x).g(x) ]\) được tính theo quy tắc cho bởi bảng sau:
Các quy tắc trên vẫn đúng khi thay \( x_0^ +\) thành \( x_0^ -\) (hoặc \(+\infty\), \(-\infty\)).
Bài tập minh họa
Câu 1. Tính giới hạn
a) \(\underset{x\to -2}{\mathop{\lim }}\,({{x}^{2}}+3x+7)\).
b) \(\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{3x+2}{x-1}\).
Hướng dẫn giải
a) Ta có \(\underset{x\to -2}{\mathop{\lim }}\,({{x}^{2}}+3x+7)\)\(= {{(-2)}^{2}}+3(-2)+7=5\).
b) \(\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{3x+2}{x-1}\)\(=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{3+\frac{2}{x}}{1-\frac{1}{x}}\)\(=\frac{3+0}{1-0}=3\)
Câu 2. Tính \(\underset{x\to {{3}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{2x+1}{x-3}\) ta được kết quả
A. \(-\infty \). B. \(+\infty \). C. \(6\). D. \(4\).
Hướng dẫn giải
Chọn B
Ta có: \(\underset{x\to {{3}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\left( 2x+1 \right)=2.3+1=7\)
\(\underset{x\to {{3}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\left( x-3 \right)=0\)
\(x\to {{3}^{+}}\)nên \(x>3\Leftrightarrow x-3>0\)
Vậy \(\underset{x\to {{3}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{2x+1}{x-3}=+\infty \)
Nên chọn đáp án \(B\).
Luyện tập Bài 2 Toán 11 Chân Trời Sáng Tạo
Học xong bài học này, em có thể:
- Nhận biết khái niệm giới hạn hữu hạn, giới hạn một phía của hàm số tại một điểm, tại vô cực, giới hạn vô cực của hàm số tại một điểm thông qua xét một số giới hạn cơ bản.
- Tính giới hạn của hàm số bằng cách dùng những giới hạn cơ bản và các phép toán trên giới hạn hàm số; giải quyết được một số vấn đề thực tiễn gắn với giới hạn hàm số.
3.1. Trắc nghiệm Bài 2 Toán 11 Chân Trời Sáng Tạo
Các em có thể hệ thống lại nội dung kiến thức đã học được thông qua bài kiểm tra Trắc nghiệm Toán 11 Chân trời sáng tạo Chương 3 Bài 2 cực hay có đáp án và lời giải chi tiết.
-
- A. \(\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\frac{3x+2}{2-x}=5\).
- B. \(\underset{x\to {{2}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{4x+5}{x-2}=+\infty \).
- C. \(\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,(\sqrt{{{x}^{2}}+2x+5}-x)=1\).
- D. \(\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{3x+2}{x-1}=+\infty \)
-
- A. \(\underset{x\to -2}{\mathop{\lim }}\,({{x}^{2}}+3x+7)\).
- B. \(\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,(\sqrt{{{x}^{2}}+10}-x)\).
- C. \(\underset{x\to 2}{\mathop{\lim }}\,(3x-2)\).
- D. \(\underset{x\to {{3}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\left| x-3 \right|\)
-
- A. \(I\in \left( 3;5 \right)\).
- B. \(I\in \left( 2;3 \right)\).
- C. \(I\in \left( 5;6 \right)\).
- D. \(I\in \left( 1;2 \right)\).
Câu 4-10: Mời các em đăng nhập xem tiếp nội dung và thi thử Online để củng cố kiến thức về bài học này nhé!
3.2. Bài tập SGK Bài 2 Toán 11 Chân Trời Sáng Tạo
Các em có thể xem thêm phần hướng dẫn Giải bài tập Toán 11 Chân trời sáng tạo Chương 3 Bài 2 để giúp các em nắm vững bài học và các phương pháp giải bài tập.
Hoạt động khởi động trang 71 SGK Toán 11 Chân trời sáng tạo tập 1 - CTST
Hoạt động khám phá 1 trang 71 SGK Toán 11 Chân trời sáng tạo tập 1 - CTST
Thực hành 1 trang 72 SGK Toán 11 Chân trời sáng tạo tập 1 - CTST
Hoạt động khám phá 2 trang 72 SGK Toán 11 Chân trời sáng tạo tập 1 - CTST
Thực hành 2 trang 73 SGK Toán 11 Chân trời sáng tạo tập 1 - CTST
Hoạt động khám phá 3 trang 73 SGK Toán 11 Chân trời sáng tạo tập 1 - CTST
Thực hành 3 trang 75 SGK Toán 11 Chân trời sáng tạo tập 1 - CTST
Hoạt động khám phá 4 trang 75 SGK Toán 11 Chân trời sáng tạo tập 1 - CTST
Thực hành 4 trang 76 SGK Toán 11 Chân trời sáng tạo tập 1 - CTST
Vận dụng 1 trang 76 SGK Toán 11 Chân trời sáng tạo tập 1 - CTST
Hoạt động khám phá 5 trang 77 SGK Toán 11 Chân trời sáng tạo tập 1 - CTST
Thực hành 5 trang 78 SGK Toán 11 Chân trời sáng tạo tập 1 - CTST
Vận dụng 2 trang 78 SGK Toán 11 Chân trời sáng tạo tập 1 - CTST
Giải Bài 1 trang 79 SGK Toán 11 Chân trời sáng tạo tập 1 - CTST
Giải Bài 2 trang 79 SGK Toán 11 Chân trời sáng tạo tập 1 - CTST
Giải Bài 3 trang 79 SGK Toán 11 Chân trời sáng tạo tập 1 - CTST
Giải Bài 4 trang 79 SGK Toán 11 Chân trời sáng tạo tập 1 - CTST
Giải Bài 5 trang 79 SGK Toán 11 Chân trời sáng tạo tập 1 - CTST
Giải Bài 6 trang 79 SGK Toán 11 Chân trời sáng tạo tập 1 - CTST
Bài tập 1 trang 84 SBT Toán 11 Tập 1 Chân trời sáng tạo - CTST
Bài tập 2 trang 84 SBT Toán 11 Tập 1 Chân trời sáng tạo - CTST
Bài tập 3 trang 84 SBT Toán 11 Tập 1 Chân trời sáng tạo - CTST
Bài tập 4 trang 84 SBT Toán 11 Tập 1 Chân trời sáng tạo - CTST
Bài tập 5 trang 84 SBT Toán 11 Tập 1 Chân trời sáng tạo - CTST
Bài tập 6 trang 84 SBT Toán 11 Tập 1 Chân trời sáng tạo - CTST
Bài tập 7 trang 84 SBT Toán 11 Tập 1 Chân trời sáng tạo - CTST
Bài tập 8 trang 85 SBT Toán 11 Tập 1 Chân trời sáng tạo - CTST
Bài tập 9 trang 85 SBT Toán 11 Tập 1 Chân trời sáng tạo - CTST
Bài tập 10 trang 85 SBT Toán 11 Tập 1 Chân trời sáng tạo - CTST
Bài tập 11 trang 85 SBT Toán 11 Tập 1 Chân trời sáng tạo - CTST
Bài tập 12 trang 85 SBT Toán 11 Tập 1 Chân trời sáng tạo - CTST
Hỏi đáp Bài 2 Toán 11 Chân Trời Sáng Tạo
Trong quá trình học tập nếu có thắc mắc hay cần trợ giúp gì thì các em hãy comment ở mục Hỏi đáp, Cộng đồng Toán học HOC247 sẽ hỗ trợ cho các em một cách nhanh chóng!
Chúc các em học tập tốt và luôn đạt thành tích cao trong học tập!
-- Mod Toán Học 11 HỌC247
