Thực hành 3 trang 75 SGK Toán 11 Chân trời sáng tạo tập 1 - CTST

Phương pháp giải:

− Để tính giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ + }} f\left( x \right),\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ - }} {\rm{ }}f\left( x \right)\), ta áp dụng định lý về giới hạn bên trái và giới hạn bên phải của hàm số.

− Để tính giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} f\left( x \right)\), ta so sánh hai giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ + }} f\left( x \right),\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ - }} {\rm{ }}f\left( x \right)\).

• Nếu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ - }} {\rm{ }}f\left( x \right) = L\) thì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} f\left( x \right) = L\).

• Nếu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ + }} f\left( x \right) \ne \mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ - }} {\rm{ }}f\left( x \right)\) thì không tồn tại \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} f\left( x \right)\).

Lời giải chi tiết:

a) Giả sử \(\left( {{x_n}} \right)\) là dãy số bất kì, \({x_n} > - 1\) và \({x_n} \to - 1\). Khi đó \(f\left( {{x_n}} \right) = x_n^2 + 2\)

Ta có: \(\lim f\left( {{x_n}} \right) = \lim \left( {x_n^2 + 2} \right) \)\(= \lim x_n^2 + \lim 2\)\( = {\left( { - 1} \right)^2} + 2 = 3\)

Vậy \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ + }} f\left( x \right) = 3\).

Giả sử \(\left( {{x_n}} \right)\) là dãy số bất kì, \({x_n} < - 1\) và \({x_n} \to - 1\).

Khi đó \(f\left( {{x_n}} \right) = 1 - 2{x_n}\).

Ta có: \(\lim f\left( {{x_n}} \right) = \lim \left( {1 - 2{x_n}} \right) \)\(= \lim 1 - \lim \left( {2{x_n}} \right) \)\(= \lim 1 - 2\lim {x_n} \)\(= 1 - 2.\left( { - 1} \right) = 3\)

Vậy \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ - }} f\left( x \right) = 3\).

b) Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ + }} f\left( x \right) \)\(= \mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ - }} {\rm{ }}f\left( x \right) = 3\) nên \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} f\left( x \right) = 3\).

-- Mod Toán 11 HỌC247