Giải bài tập Toán 10 Cánh Diều Bài 4: Vị trí tương đối và góc giữa hai đường thẳng. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng

Nêu vị trí tương đối của hai đường thẳng trong mặt phẳng.

Trong mặt phẳng toạ độ, cho hai đường thẳng \({\Delta _1},{\Delta _2}\) lần lượt có vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} \). Nêu điều kiện về hai vectơ \(\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} \) trong môi trường hợp sau:

a) \({\Delta _1}\) cắt \({\Delta _2}\)

b) \({\Delta _1}\)song song với \({\Delta _2}\)

c), \({\Delta _1}\) trùng với \({\Delta _2}\)

 Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng \({\Delta _1}:\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + {t_1}\\y =  - 2 + {t_1}\end{array} \right.\) và \({\Delta _2}:\left\{ \begin{array}{l}x = 2{t_2}\\y =  - 3 + 2{t_2}\end{array} \right.\)

 Xét vị trí tương đối của đường thẳng d: x + 2y – 2 = 0 với mỗi đường thẳng sau:

\({\Delta _1}{\rm{: }}3x{\rm{ }}--{\rm{ }}2y{\rm{ }} + {\rm{ }}6{\rm{ }} = {\rm{ }}0\); \({\Delta _2}:{\rm{ }}x{\rm{ }} + {\rm{ }}2y{\rm{ }} + {\rm{ }}2{\rm{ }} = {\rm{ }}0\); \({\Delta _3}:{\rm{ }}2x{\rm{ }} + {\rm{ }}4y{\rm{ }}--{\rm{ }}4{\rm{ }} = {\rm{ }}0.\)

Trong mặt phẳng, cho hai đường thẳng \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\) cắt nhau tại A tạo thành bốn góc  đỉnh A (quy ước không kể góc bẹt và góc không).

Quan sát Hình 40a và đọc tên một góc nhọn trong bốn góc đó.

Quan sát Hình 40b và nêu đặc điểm bốn góc tại đỉnh A.

Cho hai đường thẳng \({\Delta _1},{\Delta _2}\)cắt nhau tại I và có vectơ chỉ phương lần lượt là \(\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} \). Gọi A và B là các điểm lần lượt thuộc hai đường thẳng \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\) sao cho \(\overrightarrow {{u_1}}  = \overrightarrow {IA} ,\overrightarrow {{u_2}}  = \overrightarrow {IB} \).

a) Quan sát Hình 41a, Hình 41b, hãy nhận xét về độ lớn của góc giữa hai đường thẳng

\({\Delta _1},{\Delta _2}\)và độ lớn của góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow {IA} \),\(\overrightarrow {IB} \)

b) Chứng tỏ cos(\({\Delta _1},{\Delta _2}\)) = \(\left| {cos\left( {\overrightarrow {IA} ,{\rm{ }}\overrightarrow {IB} } \right)} \right|\).

Trong mặt phẳng toạ độ, cho hai đường thẳng \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\) có vectơ chỉ phương lần  lượt là\(\overrightarrow {{u_1}}  = {\rm{ }}\left( {{a_1};{\rm{ }}{b_1}} \right),{\rm{ }}\overrightarrow {{u_2}} {\rm{ }} = {\rm{ }}\left( {{a_2};{b_2}} \right)\) . Tính \(\cos \left( {{\Delta _1},{\Delta _2}} \right)\). 

Tính số đo góc giữa hai đường thẳng \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\) trong môi trường hợp sau:

a) \({\Delta _1}:\left\{ \begin{array}{l}x =  - 3 + 3\sqrt 3 t\\y = 2 + 3t\end{array} \right.\)  và \({\Delta _2}:y - 4 = 0\)

b)  \({\Delta _1}:2x - y = 0\) và \({\Delta _2}: - x + 3y - 5 = 0\)

Trong mặt phẳng toạ độ, cho đường thẳng \(\Delta \): 2x + y– 4 = 0 và điểm M(-1; 1). Gọi H là hình chiếu của M lên đường thẳng \(\Delta \).

a) Tìm một vectơ chỉ phương của đường thẳng MH.

b) Viết phương trình tham số của đường thẳng MH.

c) Tìm toạ độ của H. Từ đó, tính độ dài đoạn thẳng MH.

a) Tính khoảng cách từ điểm \(O\left( {0{\rm{;}}0} \right)\) đến đường thẳng \(\Delta \):\(\frac{x}{{ - 4}} + \frac{y}{2} = 1\)

b) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng song song \({\Delta _1}:x - y + 1 = 0\)và \({\Delta _2}:x - y - 1 = 0\)

Xét vị trí tương đối của mỗi cặp đường thẳng sau

a) \({d_1}:3x + 2y--5 = 0\) và \({d_2}:x - 4y + 1 = 0\) ;

b) \({d_3}:x - 2y + 3 = 0\) và \({d_4}: - {\rm{ }}2x + 4y + 10 = 0\) ;

c) \({d_5}:4x + 2y - 3 = 0\) và \({d_6}:\left\{ \begin{array}{l}x =  - \frac{1}{2} + t\\y = \frac{5}{2} - 2t\end{array} \right.\) 

Tính số đo góc giữa hai đường thẳng \({d_1}:2x--y + 5 = 0\) và\({d_2}:x - 3y + 3 = 0\).

Tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng trong mỗi trường hợp sau:

a)\(A\left( {1; - 2} \right){\rm{ }}v\`a {\rm{ }}{\Delta _1}:{\rm{ }}3x - y + {\rm{ }}4{\rm{ }} = {\rm{ }}0\) ;

b) B(-3; 2) và \({\Delta _2}:\left\{ \begin{array}{l}x =  - 2 + t\\y = 1 - 2t\end{array} \right.\)

Với giá trị nào của tham số m thì hai đường thẳng sau đây vuông góc?

\({\Delta _1}:mx - y + 1 = 0\) và \({\Delta _2}:2x - y + 3 = 0\).

Cho ba điểm A(2;- 1), B(1 ; 2) và C(4;- 2). Tính số đo góc BAC và góc giữa hai đường thẳng AB, AC.

Cho ba điểm A(2;4), B(-1; 2) và C(3;-1). Viết phương trình đường thẳng đi qua B đồng thời cách đều A và C.

Có hai con tàu A và B cùng xuất phát từ hai bến, chuyển động đều theo đường thẳng ngoài biển. Trên màn hình ra đa của trạm điều khiển (được coi như mặt phẳng toạ độ Oxy với đơn vị trên các trục tính theo ki-lô-mét), sau khi xuất phát t (giờ) (\(t \ge 0\)), vị trí

của tàu A có toạ độ được xác định bởi công thức \(\left\{ \begin{array}{l}x = 3 - 35t\\y =  - 4 + 25t\end{array} \right.\) ,vị trí của tàu B có toạ độ là (4 – 30t; 3 – 40t).

a) Tính côsin góc giữa hai đường đi của hai tàu A và B.

b) Sau bao lâu kể từ thời điểm xuất phát hai tàu gần nhau nhất?

c) Nếu tàu A đứng yên ở vị trí ban đầu, tàu B chạy thì khoảng cách ngắn nhất giữa hai tàu bằng bao nhiêu?

Phương trình nào dưới đây là phương trình tham số của một đường thẳng song song với đường thẳng: x − 2y + 3 = 0?

A. \(\left\{ \begin{array}{l}x =  - 1 + 2t\\y = 1 + t\end{array} \right.\)           

B. \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 2t\\y =  - 1 + t\end{array} \right.\)                      

C. \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y =  - 1 - 2t\end{array} \right.\)          

D. \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 - 2t\\y =  - 1 + t\end{array} \right.\)

Phương trình nào dưới đây là phương trình tham số của một đường thẳng vuông góc với đường thẳng: \(\left\{ \begin{array}{l}x =  - 1 + 3t\\y = 1 - 2t\end{array} \right.\)?

A. \(\left\{ \begin{array}{l}x =  - 1 - 2t\\y = 1 - 3t\end{array} \right.\)           

B. \(\left\{ \begin{array}{l}x =  - 1 - 2t\\y = 1 + 3t\end{array} \right.\)          

C. \(\left\{ \begin{array}{l}x =  - 1 - 3t\\y = 1 + 2t\end{array} \right.\)          

D. \(\left\{ \begin{array}{l}x =  - 1 - 3t\\y = 1 - 2t\end{array} \right.\)

Đường thẳng ∆ đi qua điểm M(−1 ; 2) và song song với đường thẳng d: 2x – y − 5 = 0 có phương trình tổng quát là:

A. 2x – y = 0              

B. 2x – y + 4 = 0        

C. 2x + y + 4 = 0        

D. x + 2y – 3 = 0

Đường thẳng ∆ đi qua điểm M(3 ; -4) và vuông góc với đường thẳng d: x − 3y + 1 = 0 có phương trình tổng quát là:

A. x - 3y – 15 = 0    

B. -3x + y + 5 = 0   

C. 3x + y – 13 = 0   

D.  3x + y – 5 = 0  

Cho ∆₁: x − 2y + 3 = 0 và ∆₂: -2x – y + 5 = 0. Số đo góc giữa hai đường thẳng ∆₁ và ∆₂ là:

A. 30⁰                         

B. 45⁰                         

C. 90°                         

D. 60⁰

Cho \({\Delta _1}:\left\{ \begin{array}{l}x =  - 2 + \sqrt 3 t\\y = 1 - t\end{array} \right.\) và \({\Delta _2}:\left\{ \begin{array}{l}x =  - 1 + \sqrt 3 t'\\y = 2 + t'\end{array} \right.\). Số đo góc giữa hai đường thẳng ∆₁ và ∆₂ là:

A. 30⁰        

B. 45⁰           

C. 90⁰            

D. 60⁰

Khoảng cách từ điểm M(5 ; – 2) đến đường thẳng ∆: - 3x + 2y + 6 = 0 là:

A. 13          

B. \(\sqrt {13} \)          

C. \(\frac{{\sqrt {13} }}{{13}}\)        

D. \(2\sqrt {13} \)

Xét vị trí tương đối của mỗi cặp đường thẳng sau:

a) \({d_1}:2x - 3y + 5 = 0\) và \({d_2}:2x + y - 1 = 0\)

b) \({d_3}:\left\{ \begin{array}{l}x =  - 1 - 3t\\y = 3 + t\end{array} \right.\) và \({d_4}:x + 3y - 5 = 0\)

c) \({d_5}:\left\{ \begin{array}{l}x = 2 - 2t\\y =  - 1 + t\end{array} \right.\) và \({d_6}:\left\{ \begin{array}{l}x =  - 2 + 2t'\\y = 1 - {t^'}\end{array} \right.\)

Tìm số đo góc giữa hai đường thẳng của mỗi cặp đường thẳng sau:

a) ∆₁: 3x + y - 5 = 0 và ∆₂: x + 2y − 3 = 0

b) \({\Delta _3}:\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + \sqrt 3 t\\y =  - 1 + 3t\end{array} \right.\) và \({\Delta _4}:\left\{ \begin{array}{l}x = 3 - \sqrt 3 t'\\y =  - t'\end{array} \right.\)

c) \({\Delta _5}: - \sqrt 3 x + 3y + 2 = 0\) và \({\Delta _6}:\left\{ \begin{array}{l}x = 3t\\y = 1 - \sqrt 3 t\end{array} \right.\)

Tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng trong các trường hợp sau:

a) A(−3 ; 1) và ∆₁: 2x + y - 4 = 0

b) B(1; -3) và ∆₂: \(\left\{ \begin{array}{l}x =  - 3 + 3t\\y = 1 - t\end{array} \right.\)

Cho hai đường thẳng song song ∆₁: ax + by + c = 0 và ∆₂: ax + by + d = 0. Chứng minh rằng khoảng cách giữa hai đường thẳng ∆₁ và ∆₂  bằng \(\frac{{\left| {d - c} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\)

Cho hai đường thẳng ∆₁: mx – 2y – 1 = 0 và ∆₂: x - 2y + 3 = 0. Với giá trị nào của tham số m thì:

a) ∆₁ // ∆₂?

b) ∆₁\( \bot {\Delta _2}\)?

Cho ba điểm A(-2; 2), B(4 ; 2), C(6 ; 4). Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua B đồng thời cách đều A và C.

Có hai tàu điện ngầm A và B chạy trong nội đô thành phố củng xuất phát tử hai ga, chuyển động đều theo đường thẳng. Trên màn hình ra đa của trạm điều khiển (được coi như mặt phẳng toạ độ Oxy với đơn vị trên các trục tính theo ki-lô-mét), sau khi xuất phát t (giờ) (t ≥ 0), vị trí của tàu A có toạ độ được xác định bởi công thức: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 7 + 36t\\y =  - 8 + 8t\end{array} \right.\) , vị trí của tàu B có toạ độ là (9 + 8t ; 5 – 36t).

a) Tính côsin góc giữa hai đường đi của hai tàu A và B

b) Sau bao lâu kể từ thời điểm xuất phát hai tàu gần nhau nhất?