Bài tập 46 trang 100 SGK Toán 10 NC

a) Đặt S = x + y; P = xy ta có hệ:

\(\begin{array}{*{20}{l}}
\begin{array}{l}
\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{S + P = 5}\\
{{S^2} - 2P + S = 8}
\end{array}} \right.\\
 \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{P = 5 - S}\\
{{S^2} - 2\left( {5 - S} \right) + S = 8}
\end{array}} \right.
\end{array}\\
{ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{P = 5 - S}\\
{{S^2} - 3S - 18 = 0}
\end{array}} \right.}\\
{ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{S = 3}\\
{P = 2}
\end{array}} \right.}\\
{\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{S =  - 6}\\
{P = 11}
\end{array}} \right.}
\end{array}} \right.}
\end{array}\)

i) Với S = 3, P = 2 thì x, y là nghiệm của phương trình:

\({x^2} - 3x + 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 1\\
x = 2
\end{array} \right.\)

Ta có nghiệm (1;2) và (2;1)

ii) Với S = - 6, P = 11 thì hệ phương trình vô nghiệm vì S2 - 4P = 36 - 44 = - 8 < 0 

Vậy hệ phương trình có hai nghiệm (1;2) và (2;1).

b) Đặt x' = - x, ta có hệ:

\(\left\{ \begin{array}{l}
x{'^2} + {y^2} + x' + y = \\
2 - x'y - x' - y =  - 1
\end{array} \right.\)

Đặt S = x' + y, P = x'y ta có:

\(\begin{array}{*{20}{l}}
\begin{array}{l}
\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{S^2} - 2P + S = 2}\\
{S + P = 1}
\end{array}} \right.\\
 \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{S^2} + S - 2\left( {1 - S} \right) = 2}\\
{P = 1 - S}
\end{array}} \right.
\end{array}\\
{ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{S^2} + 3S - 4 = 0}\\
{P = 1 - S}
\end{array}} \right.}\\
{ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{S = 1}\\
{P = 0}
\end{array}} \right.}\\
{\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{S =  - 4}\\
{P = 5}
\end{array}} \right.}
\end{array}} \right.}
\end{array}\)

+ Với S = 1, P = 0 thì x', y là nghiệm phương trình:

\(\begin{array}{l}
{X^2} - X = 0\\
 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{X = 0}\\
{X = 1}
\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x' = 0}\\
{y = 1}
\end{array}} \right.}\\
{\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x' = 1}\\
{y = 0}
\end{array}} \right.}
\end{array}} \right.
\end{array}\) 

Ta có nghiệm (0;1) và (- 1;0)

+ Với S = - 4, P = 5 thì hệ phương trình vô nghiệm vì \({S^2} - 4P < 0\)

Vậy hệ có nghiệm là (0;1) và (- 1;0)

c) Trừ theo vế của hai phương trình ta được:

x² – y² – 3x + 3y = 2y – 2x

⇔ (x – y)(x + y) – (x – y) = 0

⇔ (x – y)(x + y – 1) = 0

⇔ x – y = 0 hoặc x + y – 1 = 0

Vậy hệ đã cho tương ứng với:

\(\left[ \begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
{x^2} - 3x = 2y\\
x - y = 0
\end{array} \right.\,\,\,\,\left( I \right)\\
\left\{ \begin{array}{l}
{x^2} - 3x = 2y\\
x + y - 1 = 0
\end{array} \right.\,\,\,\,\left( {II} \right)
\end{array} \right.\)

Ta có:

\(\begin{array}{l}
\left( I \right) \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{x^2} - 3x = 2y}\\
{x - y = 0}
\end{array}} \right.\\
 \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x\left( {x - 5} \right) = 0}\\
{x = y}
\end{array}} \right.\\
 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = y = 0}\\
{x = y = 5}
\end{array}} \right.
\end{array}\)

\(\begin{array}{*{20}{l}}
\begin{array}{l}
\left( {II} \right) \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{x^2} - 3x = 2\left( {1 - x} \right)}\\
{y = 1 - x}
\end{array}} \right.\\
 \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{x^2} - x - 2 = 0}\\
{y = 1 - x}
\end{array}} \right.
\end{array}\\
{ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x =  - 1}\\
{y = 2}
\end{array}} \right.}\\
{\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 2}\\
{y =  - 1}
\end{array}} \right.}
\end{array}} \right.}
\end{array}\)

Vậy hệ phương trình đã cho có 4 nghiệm là (0;0), (5;5), (- 1;2), (2; - 1)

-- Mod Toán 10 HỌC247