Từ điểm A trong lòng một cái chén tròn M đặt trên mặt sàn phẳng nằm ngang, người ta thả một vật m nhỏ (hình vẽ).

a. Ta có:        \(m\overrightarrow a  = \overrightarrow p  + \overrightarrow N \)  

* Chiếu lên phương tiếp tuyến:       

                                \(m{a_t} =  - P\sin \alpha  \approx mg\frac{x}{R}\)          (0,25đ)

\( \Rightarrow {x''} + {\omega ^2}x = 0\)

 Với:     \({\omega ^2} = \frac{g}{R}\)          (0,25đ)

Từ đó cho thấy m dao động điều hoà, thời gian đi từ A đến B là \(\frac{1}{2}\) chu kỳ dao động.

\(\Delta t = \frac{T}{2} = \pi \sqrt {\frac{R}{g}} \)           (0,25đ)

b. Chén đứng yên nên:  

\(\overrightarrow {{P_M}} + \overrightarrow {{N_M}} + \overrightarrow {{N'}} + \overrightarrow {{F_{msn}}} = \overrightarrow 0 \)       (1)

* Chiếu (1) lên phương Oy:   \( - {P_M} + {N_M} - {N'}\cos \alpha  = 0\)  Với N' = N      (2)                   (0,25đ)

Ở góc lệch \(\alpha \), m có:    \(\left\{ \begin{array}{l}
\frac{{m{V^2}}}{R} = N - mg\cos \alpha \\
\frac{{m{V^2}}}{2} + mgh = mg{h_0}
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
N = \frac{{m{V^2}}}{R} + mg\cos \alpha \\
\frac{{m{V^2}}}{2} = mgR\left( {\cos \alpha  - \cos {\alpha _0}} \right)
\end{array} \right.\)   (0,25đ)

   \( \Rightarrow N = mg\left( {3\cos \alpha  - 2\cos {\alpha _0}} \right)\)   (3)                   (0,25đ)

Từ (2) và (3) ta được:    \({N_M} = Mg + mg\cos \alpha \left( {3\cos \alpha  - 2\cos {\alpha _0}} \right)\)  (4)                   (0,25đ)

* Chiếu (1) lên Ox:   \({N'}\sin \alpha  - {F_{msn}} = 0 \Leftrightarrow N\sin \alpha  = {F_{msn}} \le \mu N\)  (0,25đ)

 \( \Leftrightarrow \mu  \ge \frac{{N\sin \alpha }}{{{N_M}}} \ge \frac{{{{(N\sin \alpha )}_{\max }}}}{{{{({N_M})}_{\min }}}}\)    (0,25đ)

  \(\left\{ \begin{array}{l}
N\sin \alpha  = mg\left( {3\cos \alpha  - 2\cos {\alpha _0}} \right)\sin \alpha \\
{N_M} = Mg + mg\cos \alpha \left( {3\cos \alpha  - 2\cos {\alpha _0}} \right)
\end{array} \right.\)     \({\alpha _0}\) bé; \(\alpha  \le {\alpha _0}\)                     (0,25đ)

  \( \Rightarrow {\left( {N\sin \alpha } \right)_{\max }};{({N_M})_{\min }}\)   khi \(\alpha  = {\alpha _0}\)                                             (0,25đ)

Vậy:      \(\mu  \ge \frac{{m\sin 2\alpha }}{{2\left( {M + m{{\cos }^2}\alpha } \right)}}\)    (0,25đ)