Một đồng hồ quả lắc đếm giây (có chu kì T = 2 s), quả lắc được coi như là một con lắc đơn với dây treo và vật nặng làm bằng đồng có khối lượng riêng là \(\rho = 8900\,kg/{m^3}\) và hệ số nợ dài là \(\alpha = {17.10^{ - 6}}\) độ \(^{ - 1}\) .

Công thức cho chu kì T là: \(T = 2\pi \sqrt {{l \over g}} \)

a) Từ đó suy ra:

            \(l = {{g{T^2}} \over {4{\pi ^2}}} = {{9,813.4} \over {4.{{\left( {3,141} \right)}^2}}} \approx 0,995m\)

b) Trong khí quyển, con lắc chịu tác dụng của lực đẩy Ác-si-mét của không khí bằng \({m \over \rho }{\rho _{kk}}g\). Lực đẩy làm giảm trọng lượng của con lắc và trọng lượng của nó chỉ còn là:

             \(mg - {m \over \rho }{\rho _{kk}}g = mg\left( {1 - {{{\rho _{kk}}} \over \rho }} \right)\)

Như vậy, coi như con lắc chịu tác dụng của trọng trường biểu kiến có gia tốc:

            \(g' = g\left( {1 - {{{\rho _{kk}}} \over \rho }} \right)\)

            \({{{\rho _{kk}}} \over \rho } = {{1,3} \over {8900}} <  < 1\) , kí hiệu \({{{\rho _{kk}}} \over \rho } = \varepsilon \)

Chu kì dao động T của con lắc trong khí quyển ở \({20^o}\) là:

            \(T' = 2\pi \sqrt {{l \over g}}  = T\sqrt {{g \over {g'}}}  = T\sqrt {{1 \over {1 - \varepsilon }}} \)

Với \(\varepsilon  <  < 1,\) có thể dùng những công thức gần đúng:

            \({1 \over {1 - \varepsilon }} \approx 1 + \varepsilon \) và \(\sqrt {1 + \varepsilon }  = 1 + {\varepsilon  \over 2}\)

Cuối cùng sẽ có:

\(\eqalign{  & \sqrt {{g \over {g'}}}  \approx 1 + {\varepsilon  \over 2} = 1,000073  \cr  & T' \approx T\left( {1 + {\varepsilon  \over 2}} \right) = 2\left( {1 + {{13} \over {2.89000}}} \right)\cr&\;\;\;\;\;\, = 2,000146s \cr} \)

Chu kì tăng, tức là số giây mà đồng hồ chỉ trong một ngày giảm: đồng hồ chạy chậm đi.

            1 ngày đêm  = 24 giờ = 24.3600 s = 86400 s

Với chu kì dao động của quả lắc là T, trong một ngày đêm đồng hồ chỉ:

            \({{86400} \over {T'}}.2 = {{86400.2} \over {2,000146}} = {{86400} \over {1,000073}} = 86393,7s\)

Như vậy, trong một ngày đêm đồng hồ chạy chậm đi là: 86400 – 86392,7 = 6,3 s

c) Gọi \({l_1}\)  là chiều dài của con lắc ở \({30^o}C\), ta có:

\(\sqrt {{{{l_1}} \over l}}  = \sqrt {{{1 + 30\alpha } \over {1 + 20\alpha }}}  \approx \sqrt {1 + 30\alpha  - 20\alpha }  \approx \sqrt {1 + 10\alpha }\)

          \(  \approx 1 + 5\alpha  = 1,000085\)

Chu kì \({T_1}\)  ở nhiệt độ  \({30^o}C\) là:

\({T_1} = 2\pi \sqrt {{{{l_1}} \over {g'}}}  = 2\pi \sqrt {{l \over g}.{{{l_1}} \over l}.{g \over {g'}}}  = T\sqrt {{{{l_1}} \over l}.{g \over {g'}}} \)

      \(= T\left( {1 + 5\alpha } \right)\left( {1 + 0,000073} \right)\)

Áp dụng công thức gần đúng:

            \(\left( {1 + {\varepsilon _1}} \right)\left( {1 + {\varepsilon _2}} \right) \approx 1 + {\varepsilon _1} + {\varepsilon _2}\)

Suy ra: \({T_1} = T\left( {1 + 0,000085 + 0,000073} \right) \)

                  \(= 2.1,000158 = 2,000316s\)

Đồng hồ chạy chậm đi, trong một ngày đêm là:

            \({{86400} \over {{T_1}}}.2 = {{86400} \over {1,000158}} = 86386,35s\)

Tức là chậm đi 86400 – 86386,35 = 13,65 giây trong 1 ngày đêm.

d) Đồng hồ chạy chậm đi 17,6 s trong 1 ngày đêm.