Chất phóng xạ \({}_{84}^{210}Po\) phát ra tia phóng xạ \(\alpha \) và biến đổi thành chì \({}_{82}^{206}Pb\). Biết chu kì bán ra của pôlôni là 138 ngày.

a) Ta có: \({m \over {{m_0}}} = {{{{10.10}^{ - 3}}} \over 1} = {1 \over {{{10}^2}}} = {e^{ - \lambda t}} \Rightarrow \lambda t = 2\ln 10\)

với \(\lambda  = {{0,693} \over T}\), suy ra t = 917 ngày.

b) Phương trình phân rã:

            \(\eqalign{  & {}_{84}^{210}Po \to {}_2^4He + {}_{84}^{206}Pb  \cr  & \Delta m = \left[ {209,9828 - \left( {205,9744 + 4,0026} \right)u} \right] \cr&\;\;\;\;\;\;\;\,= 0,0058u \cr} \)

Năng lượng tỏa ra khi một hạt nhân pôlôni phân rã:

            \({\rm{W}} = \Delta m.{c^2} = 5,4meV\)

Số hạt nhân pôlôni trong 10mg:

            \(N = {n \over A}{N_A}\approx 2,{873.10^{19}}\) hạt

Năng lượng tổng cộng tỏa ra khi 10 mg pôlôni phân rã hết:

            \({{\rm{W}}_{tc}} = N.{\rm{W}} \approx {\rm{1,55}}{\rm{.1}}{{\rm{0}}^{20}}meV \approx 2,{48.10^7}J\)

c) Kí hiệu \({W_{{d_1}}},{\vec P_1}\) và \({W_{{d_2}}},{\vec P_2}\) tương ứng là động năng và động lượng của hạt \(\alpha \) và của hạt nhân con (chì), ta có:

            \(\eqalign{  & {{\rm{W}}_{tc}} = {{\rm{W}}_{{d_1}}} + {{\rm{W}}_{{d_2}}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1)  \cr  & {{\vec P}_1} + {{\vec P}_2} = \vec 0 \Rightarrow {P_1} = {P_2}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(2) \cr} \)

Biết \({{\rm{W}}_{\rm{d}}} = {{{p^2}} \over {2m}}\), từ (1) và (2) ta tìm được:

            \(\eqalign{  & {{\rm{W}}_{{{\rm{d}}_1}}} = {{206} \over {206 + 4}}{{\rm{W}}_{tc}} = {{206} \over {210}}{{\rm{W}}_{tc}} \approx 1,{52.10^{20}}V \cr&\;\;\;\;\;\;\;= 2,{43.10^7}J  \cr  & {{\rm{W}}_{{\rm{d}}2}} = {{\rm{W}}_{tc}} - {{\rm{W}}_{{{\rm{d}}_1}}} = 0,{03.10^{20}}MeV \approx 0,{05.10^7}J \cr} \)

Tốc độ hạt \(\alpha \) và hạt nhân con:

            \({v_1} = \sqrt {{{2{W_{{d_1}}}} \over {{m_\alpha }}}}  \approx 2,{55.10^7}m/s;\,\,{v_2} \approx {5.10^5}m/s\)

d) Độ phóng xạ ban đầu của 1 mg  pôlôni :

            \({H_0} = \lambda {N_0} = {{0,693} \over T}.{m \over A}{N_A}\)

Với T = 138 ngày = 138.86400 s; A = 210; \(m = 1mg = {10^{ - 3}}g\), ta có:

            \( \Rightarrow {H_0} = 1,{67.10^{11}}Bq\)  

Độ phóng xạ của nó sau thời gian t: \(H = {H_0}{e^{ - \lambda t}} = {{{H_0}} \over {{2^{{t \over T}}}}}\)

Sau khoảng thời gian \({t_1} = 17,25\) ngày \( = {{138} \over 8} = {T \over 8}\), thì:

            \(H = {{{H_0}} \over {{2^{{1 \over 8}}}}} \approx 1,{53.10^{11}}Bq\)

Sau khoảng thời gian \({t_2} = 34,5\) ngày \( = {{138} \over 4} = {T \over 4}\), thì:

            \(H = {{{H_0}} \over {{2^{{1 \over 4}}}}} \approx 1,{4.10^{11}}Bq\)

Sau khoảng thời gian \({t_3} = 69\) ngày \( = {{138} \over 2} = {T \over 2}\), thì:

            \(H = {{{H_0}} \over {{2^{{1 \over 2}}}}} \approx 1,{18.10^{11}}Bq\)

e) Sau thời gian t = 6624 giờ  = 276 ngày = 2T, tức là sau hai chu kì  bán rã thì khối lượng của khối chất pôlôni còn lại bằng:

            \(m = {{{m_0}} \over {{2^{{1 \over T}}}}} = {{{m_0}} \over {{2^2}}} = {{10} \over 4} = 2,5mg\)

Số hạt nhân pôlôni còn lại là N (có trong 2,5 mg) liên hệ với độ phóng xạ H theo hệ thức \(H = \lambda N.\) Suy ra:

            \(N = {H \over \lambda } = {{H.T} \over {0,693}}\)

            \(\,\,\, = {{4,{{17.10}^{11}}.3312.3600} \over {0,693}} = 7,{17.10^{18}}\) hạt nhân

Từ đó khối lượng của một hạt nhân pôlôni là:

            \({m_{Po}} = {m \over N} = 3,{49.10^{ - 22}}kg\)

Biết \({{{m_\alpha }} \over {{m_{Po}}}} = {4 \over {210}}\), ta tìm được khối lượng của một hạt \(\alpha \) là:

            \({m_\alpha } = {4 \over {210}}{m_{Po}} = 6,{65.10^{ - 24}}kg\)

Trong 2,5 mg pôlôni có N hạt nhân. Vì vậy, trong 1 mol pôlôni tức là 210 g pôlôni có số hạt nhân là:

            \({{7,{{17.10}^{18}}.210} \over {2,{{5.10}^{ - 3}}}} \approx 6,{02.10^{23}}\) hạt nhân

Đó chính là số A-vô-ga-đrô.