Trên mặt bàn nhẵn nằm ngang cố định dài L, có đặt hai vật A và B tiếp xúc nhau. Mặt trên của A là một đường dẫn có dạng là nửa đường tròn bán kính R \(\left( R\ll L \right),\) độ cao của đỉnh đường dẫn so với mặt bàn là h. Một vật nhỏ C trượt không vận tốc đầu từ điểm cao nhất của đường dẫn xuống dưới (hình vẽ). Khối lượng của A, B và C đều bằng nhau và bằng m. Biết rằng ban đầu A nằm chính giữa bàn và trong quá trình chuyển động A và C luôn tiếp xúc nhau. Bỏ qua ma sát ở các mặt tiếp xúc. Hỏi:

a) Vận tốc của B khi vừa tách rời A

- Khi C được thả ra, áp lực của C lên A có tác dụng làm cho hai vật A, B chuyển động tiếp xúc nhau \(\left( {{v}_{A}}={{v}_{B}} \right).\) Khi C tới điểm thấp nhất của đường tròn, C tiếp tục chuyển động sang phần bên trái, áp lực của C có tác dụng làm cho vật A chuyển động chậm lại. Do đó, hai vật A và B sẽ rời khỏi nhau khi C đi qua điểm thấp nhất của đường tròn.

- Áp dụng định luật bảo toàn động lượng cho hệ “A, B và C” theo phương ngang, ta được:

\(0=-m{{v}_{C}}+m{{v}_{B}}+m{{v}_{A}}=-m{{v}_{C}}+2m{{v}_{B}}\)

\(\Rightarrow {{v}_{C}}=2{{v}_{B}}.\)

- Áp dụng định luật bảo toàn năng lượng cho hệ, ta được:

\(mgR=\frac{1}{2}mv_{C}^{2}+\frac{1}{2}mv_{B}^{2}+\frac{1}{2}mv_{A}^{2}=\frac{1}{2}mv_{C}^{2}+mv_{B}^{2}\)

\(\Leftrightarrow mgR=2mv_{B}^{2}+mv_{B}^{2}=3mv_{B}^{2}\Rightarrow {{v}_{B}}=\sqrt{\frac{gR}{3}}.\)

Vậy: Vận tốc của B khi vừa tách khỏi A là \({{v}_{B}}=\sqrt{\frac{gR}{3}}.\)

b) Độ cao cực đại của C so với mặt bàn khi A và B tách rời nhau

- Khi A và B tách nhau, vật C tiếp tục trượt tiếp trên đường tròn của A và khi lên đến độ cao cực đại thì nó sẽ có cùng vận tốc với A.

- Áp dụng định luật bảo toàn động lượng theo phương ngang cho hệ “ A và C”, ta được:

\(m{{v}_{A}}-m{{v}_{C}}=2mv,\left( {{v}_{C}}=2{{v}_{B}}=2{{v}_{A}}=2\sqrt{\frac{gR}{3}} \right)\)

\(\Leftrightarrow m{{v}_{A}}=2mv\Rightarrow v=-\frac{{{v}_{A}}}{2}.\)

- Áp dụng định luật bảo toàn năng lượng cho hệ “A và C”, ta được:

\(\frac{1}{2}mv_{C}^{2}+\frac{1}{2}mv_{A}^{2}+mg\left( h-R \right)=m{{v}^{2}}+mg{{h}_{\max }}\)

\(\Leftrightarrow 2v_{A}^{2}+\frac{1}{2}v_{A}^{2}+g\left( h-R \right)=\frac{1}{4}v_{A}^{2}+g{{h}_{\max }}\)

\(\Leftrightarrow \frac{9}{4}v_{A}^{2}+g\left( h-R \right)=g{{h}_{\max }}\Leftrightarrow \frac{9}{4}.\frac{gR}{3}+gh-gR=g{{h}_{\max }}\)

\(\Leftrightarrow \frac{1}{4}gR+gh=g{{h}_{\max }}\Rightarrow {{h}_{\max }}=h-\frac{R}{4}.\)

Vậy: Độ cao cực đại của C so với mặt bàn khi A và B tách rời nhau là: \({{h}_{\max }}=h-\frac{R}{4}.\)

c) Thời gian kể từ khi vật A tách khỏi vật B cho đến khi nó rời khỏi bàn

- Khi C tới điểm thấp nhất của đường tròn nó có vận tốc là \({{v}_{C}}=2{{v}_{A}}\) và hướng sáng trái. Gọi \({{v}_{kt}}\) là vận tốc khối tâm của hệ “A và C”, ta có:

\(2m{{v}_{kt}}=m{{v}_{C}}+m{{v}_{A}}=-m{{v}_{A}}\Rightarrow {{v}_{kt}}=-\frac{{{v}_{A}}}{2}\)

- Do không có ma sát nên sau khi A tách khỏi B thì khối tâm của hệ “A và C’ chuyển động thẳng đều sang bên trái với tốc độ: \(\left| {{v}_{kt}} \right|=\frac{{{v}_{A}}}{2}.\)

- Thời gian để hệ “A và C” trượt đến mép bàn: \(t=\frac{s}{{{v}_{kt}}}=\frac{\frac{L}{2}}{{{v}_{kt}}}=\frac{\frac{L}{2}}{\frac{{{v}_{A}}}{2}}=L\sqrt{\frac{3}{gR}}.\)

Vậy: Thời gian để A rời khỏi bàn là \(t=L\sqrt{\frac{3}{gR}}.\)