Một vật khối lượng m, trượt trên một rãnh không ma sát mà phần cuối được uốn thành một vòng tròn, bán kính R. Vật được thả từ độ cao h so với đỉnh của vòng tròn.

a) Độ lớn và hướng của lực mà rãnh tác dụng lên vật tại A

- Áp dụng định luật bảo toàn cơ năng cho vật tại hai điểm M và A, ta được::

\({{W}_{M}}={{W}_{A}}\Leftrightarrow mg\left( h+2R \right)=\frac{1}{2}mv_{A}^{2}\)                                                (1)

- Mặt khác, tại A ta có: \({{Q}_{A}}-mg=\frac{mv_{A}^{2}}{R}\)                       (2)

- Từ (1) và (2): \(mg+\frac{mv_{A}^{2}}{R}=mg+\frac{2mg\left( h+2R \right)}{R}=mg\left( 5+\frac{2h}{R} \right)\)

Vậy: Lực mà rãnh tác dụng lên vật tại A hướng lên và có độ lớn \({{Q}_{A}}=mg\left( 5+\frac{2h}{R} \right).\) 

b) Độ lớn của gia tốc hướng tâm của vật tại B

- Áp dụng định luật bảo toàn cơ năng cho vật tại hai điểm M và B, ta được:

\({{W}_{M}}={{W}_{B}}\Leftrightarrow mg\left( h+2R \right)=\frac{1}{2}mv_{B}^{2}+mg{{h}_{B}}\)

\(\Leftrightarrow mg\left( h+2R \right)=\frac{1}{2}mv_{B}^{2}+mgR\cos 60{}^\circ \)

\(\Rightarrow v_{B}^{2}=2g\left( h+\frac{3R}{2} \right)\)                                                             (3)

- Gia tốc hướng tâm của vật tại B: \({{a}_{ht}}=\frac{v_{B}^{2}}{R}=\frac{2g\left( h+\frac{3R}{2} \right)}{R}=g\left( 3+\frac{2h}{R} \right).\)

Vậy: Độ lớn của gia tốc hướng tâm của vật tại B là \({{a}_{ht}}=g\left( 3+\frac{2h}{R} \right).\) 

c) Chứng minh rằng vật phải bắt đầu trượt từ độ cao \(h\ge \frac{R}{2}\) thì mới đi hết được vòng tròn

- Tại D, từ định luật bảo toàn cơ năng, ta được: \(v_{D}^{2}=2gh\)                        (4)

Và: \({{Q}_{D}}+mg=\frac{mv_{D}^{2}}{R}=\frac{2mgh}{R}\Rightarrow {{Q}_{D}}=mg\left( \frac{2h}{R}-1 \right)\)

- Để vật không rời khỏi D thì \({{Q}_{D}}\ge 0\Leftrightarrow mg\left( \frac{2h}{R}-1 \right)\ge 0\Rightarrow h\ge \frac{R}{2}.\) 

Vậy: Để vật đi hết đường tròn thì vật phải bắt đầu trượt từ độ cao \(h\ge \frac{R}{2}.\) 

d) Chứng minh rằng với \(h<\frac{R}{2}\) thì vật sẽ rời vòng tròn tại C với \(\alpha =\widehat{DOC}\) và \(3\cos \alpha =2+\frac{h}{2R}\)

- Tại C, từ định luật bảo toàn cơ năng, ta được :

\(v_{C}^{2}=2g\left( h+R-R\cos \alpha  \right)\)                              (5)

Và: \({{Q}_{C}}+mg\cos \alpha =\frac{mv_{C}^{2}}{R}=\frac{2mg\left( h+R-R\cos \alpha  \right)}{R}=\frac{2mgh}{R}+2mg-2mg\cos \alpha \)

\(\Rightarrow {{Q}_{C}}=\frac{2mgh}{R}+2mg-3mg\cos \alpha \)

- Khi vật rời khỏi C thì \({{Q}_{C}}=0\)

\(\Leftrightarrow \frac{2mgh}{R}+2mg-2mg\cos \alpha =0\)

\(\Leftrightarrow 3\cos \alpha =2+\frac{h}{2R}\)

Vậy : Để vật rời vòng tròn tại C với \(\alpha =\widehat{DOC}\) thì \(3\cos =2+\frac{h}{2R}.\)