Một vật A chuyển động với vận tốc \({{v}_{0}}\) đến va chạm đàn hồi hoàn toàn với một vật B đang đứng yên tại C. Sau va chạm vật B chuyển động trên máng đường tròn đường kính \(CD=2R\). Một tấm phẳng \(\left( E \right)\) đặt vuông góc với CD tại tâm O của máng đường tròn Cho khối lượng của hai vật bằng nhau. Bỏ qua mọi ma sát

1. Vận tốc của vật B tại M mà ở đó vật bắt đầu rời máng

Vì va chạm là hoàn toàn đàn hồi nên sau va chạm  B chuyển động với vận tốc \({{v}_{0}}\) còn A đứng yên. Theo định luật bảo toàn cơ năng ta có:

\(\frac{1}{2}mv_{0}^{2}=\frac{1}{2}m{{v}^{2}}+mgR\left( 1+\sin \alpha  \right)\)

\(\Rightarrow {{v}^{2}}=v_{0}^{2}-2gR\left( 1+\sin \alpha  \right)\)

Theo định luật II Niuton ta có: \(\overrightarrow{P}+\overrightarrow{Q}=m\overrightarrow{a}\)

Chiếu hệ thức vecto trên lên phương MO, chiều (+) hướng tâm, ta được:

\(mg\sin \alpha +Q=\frac{m{{v}^{2}}}{R}\)

Vật B rời khỏi máng tại M nên \(Q=0\Leftrightarrow mg\sin \alpha =\frac{m{{v}^{2}}}{R}\)

\(\Rightarrow \sin \alpha =\frac{{{v}^{2}}}{gR}=\frac{v_{0}^{2}-2gR\left( 1+\sin \alpha  \right)}{gR}\Leftrightarrow gR\sin \alpha =v_{0}^{2}-2gR-2gR\sin \alpha \)

\(\Rightarrow \sin \alpha =\frac{v_{0}^{2}-2gR}{3gR}\)

Vận tốc của B khi nó bắt đầu rời khỏi máng: \({{v}^{2}}=v_{0}^{2}-2gR\left( 1+\frac{v_{0}^{2}-2gR}{3gR} \right)\)

\(\Leftrightarrow {{v}^{2}}=gR\sin \alpha =gR\frac{v_{0}^{2}-2gR}{3gR}=\frac{v_{0}^{2}-2gR}{3}\), điều kiện: \(2Rg\le v_{0}^{2}\le 5Rg\)

Vậy: vận tốc đầu của B khi nó bắt đầu rời khỏi máng là: \(v=\sqrt{\frac{v_{0}^{2}-2gR}{3}}\)

2. Vật có thể rơi vào tấm E không?

Khi vật rời khỏi máng

\(\sin \alpha =\frac{3,5gR-2gR}{3gR}=\frac{1}{2}\Rightarrow \alpha =30{}^\circ \) và \({{v}_{B}}=\sqrt{\frac{3,5gR-2gR}{3}}=\sqrt{\frac{gR}{2}}\)

Khi rời B, vật chuyển động như vật bị ném xiên với các phương trình:

\(x=\left( v\sin \alpha  \right)t-R\cos \alpha \)

\(y=\frac{1}{2}gt+\left( v\cos \alpha  \right)t+R\sin \alpha \)

Để B có thể tới (E) thì \(x\ge 0\Leftrightarrow \left( v\sin \alpha  \right)t-R\cos \alpha >0\)

\(\Rightarrow t>\frac{R\cos \alpha }{v\sin \alpha }=\frac{R}{v}\cot \alpha =\frac{R}{\sqrt{\frac{gR}{2}}}.\cot 30{}^\circ =\sqrt{\frac{6R}{g}}=2,45\sqrt{\frac{R}{g}}\) (1)

Khi chạm vào tấm \(\left( E \right):y=0\Leftrightarrow gt_{1}^{2}-2\left( v\cos \alpha  \right){{t}_{1}}-2R\sin \alpha =0\)

Phương trình bậc hai theo \({{t}_{1}}\) trên có nghiệm:

\({{t}_{1}}=\sqrt{\frac{R}{g}}\left( \frac{\sqrt{3}+\sqrt{11}}{2\sqrt{2}} \right)=1,785\sqrt{\frac{R}{g}}\) (2)

Từ (1) và (2) ta thấy: \({{t}_{1}}<2,45\sqrt{\frac{R}{g}}\), nghĩa là B không rơi vào tấm (E)

Vậy: B không thể rơi vào tấm (E)