Một thanh cứng có chiều dài \(l\), khối lượng không đáng kể, hai đầu gắn chặt với hai quả cầu nhỏ khối lượng M và \(\frac{M}{2}\). Thanh được đặt nằm trên mặt bàn nhẵn nằm ngang. Một quả cầu nhỏ khối lượng \(m(m

Hệ "hai quả cầu M và m" là hệ kín, va chạm giữa m và M là va chạm đàn hồi nên động lượng và động năng của hệ bảo toàn:

\(mv=m{{v}_{1}}+M{{v}_{2}}\) (1)

\(\frac{1}{2}m{{v}^{2}}=\frac{1}{2}mv_{1}^{2}+\frac{1}{2}mv_{2}^{2}\) (2)

Từ (1) và (2), ta được:

\({{v}_{1}}=\frac{v\left( 1-\gamma  \right)}{\left( 1+\gamma  \right)}\) và \({{v}_{2}}=\frac{2v}{1+\gamma },\gamma =\frac{M}{m}\)

Vì \(\gamma =\frac{M}{m}<1\Rightarrow {{v}_{1}}>0\): ngay sau va chạm, m chuyển động theo hướng cũ với vận tốc \({{v}_{1}}\) và M chuyển động sang phải với vận tốc \({{v}_{2}}\)

Sau va chạm, khối tâm G của hệ hai quả cầu M và \(\frac{M}{2}\) chuyển động tịnh tiến sang phải với vận tốc:

\({{v}_{G}}=\frac{M{{v}_{2}}}{M+\frac{M}{2}}\) (bảo toàn động lượng cho hệ "quả cầu M và \(\frac{M}{2}\)")

\(\Rightarrow {{v}_{G}}=\frac{2M{{v}_{2}}}{3m}=\frac{2}{3}{{v}_{2}}=\frac{4v}{3\left( 1+\gamma  \right)}\)

Sau va chạm, M sẽ chuyển động:

+ Tịnh tiến đối với khối tâm G với vận tốc:

\(u={{v}_{2}}-{{v}_{G}}=\frac{2v}{1+\gamma }-\frac{4}{3}.\frac{v}{1+\gamma }=\frac{2v}{3\left( 1+\gamma  \right)}\)

+ Quay quanh khối tâm G với vận tốc góc:

\(\omega =\frac{u}{\frac{1}{3}}=\frac{2v}{l\left( 1+\gamma  \right)}\)

Từ hình vẽ, m và \(\frac{M}{2}\) chỉ có thể va chạm với nhau sau khi M và \(\frac{M}{2}\) quay được một góc \(\alpha =\frac{2\pi }{3}\) quanh G

Thời gian quay tính từ lúc va chạm lần 1 là: \(t=\frac{\alpha }{\omega }=\frac{2\pi }{3\omega }=\frac{\pi l\left( 1+\gamma  \right)}{3v}\)

Vận tốc của quả cầu m đối với khối tâm G:

\({v}'={{v}_{1}}-{{v}_{G}}=v\frac{\left( 1-\gamma  \right)}{\left( 1+\gamma  \right)}-\frac{4v}{3\left( 1+\gamma  \right)}=-v\frac{3\gamma +1}{3\left( \gamma +1 \right)}\)

Để xảy ra sự va chạm giữa m và \(\frac{M}{2}\), ta phải có: \(\left| {v}'t \right|=\frac{21}{3}\cos 30{}^\circ \)

\(\Leftrightarrow v\frac{3\gamma +1}{3\left( \gamma +1 \right)}.\frac{\pi l\left( 1+\gamma  \right)}{3v}=\frac{21}{3}.\frac{\sqrt{3}}{2}\Leftrightarrow \frac{\left( 3\gamma +1 \right)\pi l}{9}=\frac{l\sqrt{3}}{3}\)

\(\Rightarrow \gamma =\frac{\sqrt{3}}{\pi }-\frac{1}{3}\approx 0,22\)

Vậy: để sau khi va chạm lần thứ nhất với M, quả cầu m tiếp tục va chạm với quả cầu \(\frac{M}{2}\) ở phía bên phải vị trí va chạm lần đầu thì \(\frac{M}{m}=0,22\)......