Một tấm ván khối lượng M được treo vào một dây dài nhẹ, không dãn. Nếu viên đạn có khối lượng m bắn vào ván với vận tốc v0 thì nó dừng lại ở mặt sau của ván, nếu bắn với vận tốc \({{v}_{1}}>{{v}_{0}}\) thì đạn xuyên qua ván.

Gọi \({v}'\) là vận tốc của đạn và ván khi đạn xuyên vào ván.

- Áp dụng định luật bảo toàn động lượng và bảo toàn năng lượng cho hệ "đạn – ván", ta được:

\(m{{v}_{0}}=\left( M+m \right){v}'\)                                                         (1)

\(\frac{1}{2}mv_{0}^{2}=\frac{1}{2}\left( M+m \right){{{v}'}^{2}}+Q\)                                  (2)

(Q : công của lực cản biến thành nhiệt)

- Từ (1), (2): \(Q=\frac{1}{2}mv_{0}^{2}-\frac{1}{2}\left( M+m \right){{\left( \frac{m{{v}_{0}}}{M+m} \right)}^{2}}\)

\(\Rightarrow Q=\frac{mM}{2\left( M+m \right)}v_{0}^{2}\)                                            (3)

- Khi đạn có vận tốc v₁ > v₀ : Gọi v₂ là vận tốc đạn sau khi xuyên qua tấm gỗ. Tương tự, ta có :

\(m{{v}_{1}}=Mv+m{{v}_{2}}\Rightarrow {{v}_{2}}={{v}_{1}}-\frac{M}{m}v\)                 (4)

\(\frac{1}{2}mv_{1}^{2}=\frac{1}{2}M{{v}^{2}}+\frac{1}{2}mv_{2}^{2}+Q\)                                  (5)

- Thay (3), (4) và (5), ta được: \(v_{1}^{2}=\frac{M}{m}{{v}^{2}}+{{\left( {{v}_{1}}-\frac{M}{m}v \right)}^{2}}+\frac{M}{M+m}v_{0}^{2}.\)

\(\Rightarrow {{v}^{2}}-2\frac{m{{v}_{1}}}{M+m}v+\frac{{{m}^{2}}v_{0}^{2}}{{{\left( M+m \right)}^{2}}}=0\)

- Giải phương trình trên theo v, ta được: \(v=\frac{m}{M+m}\left( {{v}_{1}}\pm \sqrt{v_{1}^{2}-v_{0}^{2}} \right)\)

- Nếu chọn dấu "+", thay vào (4) ta được:

\({{v}_{2}}=\frac{m{{v}_{1}}-M\sqrt{v_{1}^{2}-v_{0}^{2}}}{M+m}<v=\frac{m}{M+m}\left( {{v}_{1}}+\sqrt{v_{1}^{2}-v_{0}^{2}} \right)\)

Điều này vô lí vì vận tốc đạn sau khi xuyên qua gỗ không thể nhỏ hơn vận tốc tấm gỗ. Do đó: \(v=\frac{m}{M+m}\left( {{v}_{1}}-\sqrt{v_{1}^{2}-v_{0}^{2}} \right)\)

Vậy: Vận tốc của ván ngay sau khi đạn xuyên qua là \(v=\frac{m}{M+m}\left( {{v}_{1}}-\sqrt{v_{1}^{2}-v_{0}^{2}} \right).\)