Một quả cầu nhỏ nằm ở chân nêm AOB vuông cân tại đỉnh O, cố định cạnh \(\ell \) (hình vẽ). Cần truyền cho quả cầu vận tốc \({{\overrightarrow{v}}_{0}}\) bằng bao nhiêu hướng dọc theo mặt AO của nêm để quả cầu rơi đúng điểm B trên nêm. Bỏ qua mọi ma sát, các va chạm là tuyệt đối đàn hồi.

Chọn mốc thế năng tại mặt phẳng AB ; gọi \(\overrightarrow{v}\) là vận tốc của quả cầu khi lên đến đỉnh nêm.

- Áp dụng định luật bảo toàn cơ năng cho vật tại hai điểm A và O, ta được:

\(\frac{mv_{0}^{2}}{2}=\frac{m{{v}^{2}}}{2}+mg\frac{\ell \sqrt{2}}{2}\)

\(\Rightarrow v=\sqrt{v_{0}^{2}-g\ell \sqrt{2}}\)

- Sau khi rời O, quả cầu chuyển động như vật ném xiên với vận tốc \(\overrightarrow{v}\) và lập với phương nằm ngang một góc \(\text{45}{}^\circ .\) Phân tích chuyển động ném xiên của vật làm hai thành phần theo hai phương Ox và Oy, ta được :

  + Theo phương Ox : Quả cầu chuyển động nhanh dần đều, với :

 \({{v}_{0x}}=0;{{a}_{x}}=\frac{g\sqrt{2}}{2}=const;\text{          }{{v}_{x}}=\frac{g\sqrt{2}}{2}t;x=\frac{g\sqrt{2}}{4}{{t}^{2}}\)

  + Theo phương Oy : Quả cầu chuyển động chậm dần đều, với :

\({{v}_{0y}}=v;{{a}_{y}}=-\frac{g\sqrt{2}}{2}=const;\text{       }{{v}_{y}}=v-\frac{g\sqrt{2}}{2}t;y=vt-\frac{g\sqrt{2}}{4}{{t}^{2}}\)

- Khi va chạm mặt nêm: \(y=0.\)

\(\Leftrightarrow vt-\frac{g\sqrt{2}}{4}{{t}^{2}}=0\Rightarrow t=\frac{2\sqrt{2}v}{g};{{v}_{y}}=v-\frac{g\sqrt{2}}{2}.\frac{2\sqrt{2}v}{g}=-v.\)

- Do va chạm là tuyệt đối đàn hồi nên sau va chạm, vận tốc quả cầu theo phương Oy vẫn có độ lớn là v nên bi lại chuyển động như cũ. Thời gian giữa hai lần và chạm mặt nên liên tiếp là: \(t=\frac{2\sqrt{2}v}{g}.\)

- Quãng đường đi được dọc theo mặt nêm sau lần va chạm thứ nhất là:

\({{s}_{1}}={{x}_{1}}=\frac{1}{2}{{a}_{x}}{{t}^{2}}=\frac{1}{2}.\frac{g\sqrt{2}}{2}.{{\left( \frac{2\sqrt{2}v}{g} \right)}^{2}}=\frac{2\sqrt{2}{{v}^{2}}}{g}=\frac{2\sqrt{2}\left( v_{0}^{2}-g\ell \sqrt{2} \right)}{g}\)

- Quãng đường đi được dọc theo phương Ox (mặt nêm) sau các va chạm liên tiếp là:

\({{s}_{1}}:{{s}_{2}}:{{s}_{3}}:...=1:3:5:...:\left( 2n-1 \right)\)

- Để quả cầu rơi đúng điểm B:

\(s={{s}_{1}}+{{s}_{2}}+...+{{s}_{n}}=\left( 1+3+5+...+\left( 2n-1 \right) \right){{s}_{1}}={{n}^{2}}{{s}_{1}}=\ell \)

\(\Leftrightarrow \frac{2\sqrt{2}\left( v_{0}^{2}-g\ell \sqrt{2} \right)}{g}{{n}^{2}}=\ell \Rightarrow {{v}_{0}}=\sqrt{\frac{\left( 4{{n}^{2}}+1 \right)g\ell }{2\sqrt{2}{{n}^{2}}}}\)

Vậy : Để quả cầu rơi đúng điểm B thì phải truyền cho quả cầu vận tốc \({{v}_{0}}=\sqrt{\frac{\left( 4{{n}^{2}}+1 \right)g\ell }{2\sqrt{2}{{n}^{2}}}}\) dọc theo mặt AO của nêm.