Một quả cầu nhỏ khối lượng \(M=100g\) treo vào đầu sợi dây lý tưởng, chiều dài \(l=20cm\) như hình vẽ. Dùng một vật nhỏ khối lượng \(m=50g\) có tốc độ \({{v}_{0}}\) bắn vào \(M\). Bỏ qua sức cản của không khí. Lấy \(g=10(m/{{s}^{2}})\). Coi va chạm là tuyệt đối đàn hồi

a) Xác định \({{v}_{0}}\) để  lên đến vị trí dây treo nằm ngang

Gọi \({{v}_{1}}\) và \({{v}_{2}}\) là vận tốc của các vật ngay sau va chạm. Vì va chạm là tuyệt đối đàn hồi nên động lượng và động năng của hệ hai vật \(m\) và \(M\) bảo toàn:

\(\left\{ \begin{align}

  & m{{v}_{0}}=m{{v}_{1}}+M{{v}_{2}} \\

 & \frac{mv_{0}^{2}}{2}=\frac{mv_{1}^{2}}{2}+\frac{Mv_{2}^{2}}{2} \\

\end{align} \right.\Rightarrow {{v}_{2}}=\frac{2m}{m+M}{{v}_{0}}\) (1)

Khi dây nằm ngang:

\(\frac{Mv_{2}^{2}}{2}=Mgl\Rightarrow {{v}_{0}}=\frac{m+M}{m}\sqrt{\frac{gl}{2}}\) (2)

\(\Leftrightarrow {{v}_{0}}=\frac{0,05+0,1}{0,05}\sqrt{\frac{10.0,2}{2}}=3(m/s)\)

Vậy: để M lên đến vị trí dây treo nằm ngang thì \({{v}_{0}}=3(m/s)\)

b) Giá trị tối thiểu của \({{v}_{0}}\) để vật \(M\) chuyển động tròn xung quanh điểm \(O\)

Gọi \({{v}_{E}}\) là vận tốc vật \(M\) tại vị trí cao nhất \(E\), ta có:

\(mg+T=\frac{mv_{E}^{2}}{1}\Rightarrow T=\frac{mv_{E}^{2}}{1}-mg\)

Để vật quay hết vòng tròn:

\(T\ge 0\Leftrightarrow \frac{mv_{E}^{2}}{1}-mg\ge 0\Rightarrow {{v}_{E}}\ge \sqrt{gl}\) (3)

Theo định luật bảo toàn cơ năng, ta có:

\(\frac{1}{2}Mv_{2}^{2}=Mg.2l+\frac{1}{2}Mv_{E}^{2}\) (4)

Từ (2), (3) và (4) ta được:

\({{v}_{0}}\ge \frac{m+M}{m}\sqrt{5gl}=\frac{0,05+0,1}{0,05}\sqrt{5.10.0,2}=\frac{3\sqrt{10}}{2}(m/s)\)

Vậy: để \(M\) chuyển động tròn xung quanh điểm \(O\) thì \({{v}_{0\min }}=\frac{3\sqrt{10}}{2}(m/s)\)

c) Xác định chuyển động của vật \(M\) sau va chạm nếu \({{v}_{0}}=\frac{3\sqrt{7}}{2}(m/s)\)

Với \({{v}_{0}}=\frac{3\sqrt{7}}{2}(m/s)<{{v}_{0\min }}\) nên \(M\) không lên tới điểm cao nhất \(E\) của quỹ đạo tròn

Lực căng của dây: \(T=\frac{m{{v}^{2}}}{l}+mg\cos \alpha \)

+ Khi \(T=0\) thì \(M\) bắt đầu rời quỹ đạo tròn tại \(D\) với vận tốc \({{v}_{D}}=\sqrt{-gl\cos \alpha }\)

+ Từ \(D\), vật \(M\) chuyển động như vật bị ném xiên. Áp dụng định luật bảo toàn cơ năng, ta được:

\(\frac{1}{2}Mv_{2}^{2}=Mgl\left( 1-\cos \alpha  \right)+\frac{1}{2}Mv_{D}^{2}\)

\(\Leftrightarrow \frac{1}{2}Mv_{2}^{2}=Mgl\left( 1-\cos \alpha  \right)-\frac{1}{2}Mgl\cos \alpha \)

\(\Leftrightarrow \frac{1}{2}Mv_{2}^{2}=Mgl\left( 1-\cos \alpha  \right)-\frac{1}{2}Mgl\cos \alpha \)

\(\Rightarrow \cos \alpha =\frac{1}{3}\left( 2-\frac{v_{2}^{2}}{gl} \right)\Rightarrow \alpha =\arccos \frac{1}{3}\left( 2-\frac{v_{2}^{2}}{gl} \right)\)

Mặt khác, từ (1): \({{v}_{2}}=\frac{2.0,05}{\left( 0,05+0,1 \right)}.\frac{3\sqrt{7}}{2}=\sqrt{7}(m/s)\)

\(\Rightarrow \alpha =\arccos \frac{1}{3}\left( 2-\frac{7}{10.0,2} \right)=120{}^\circ \) và \({{v}_{D}}=\sqrt{-10.0,2.\cos 120{}^\circ }=1(m/s)\)

Vậy: sau va chạm nếu \({{v}_{0}}=\frac{3\sqrt{7}}{2}(m/s)\) thì chuyển động của \(M\) là:

+ Chuyển động theo quỹ đạo tròn đến \(D(\alpha =120{}^\circ )\) thì rời quỹ đạo

+ Từ \(D,M\) chuyển động như vật bị ném xiên, vận tốc ban đầu (tại \(D\)) là \({{v}_{D}}=1(m/s)\)