Một máy bắn bóng dùng lò xo: Quả bóng khối lượng m = 100g được ép vào lò xo có độ cứng \(k=1\left( \text{N/cm} \right)\text{,}\) đang bị nén một đoạn \(\Delta \ell .\) Sau khi được thả ra, quả bóng chuyển động với hệ số ma sát \(\mu =0,1\) trên đoạn đường nằm ngang PS. Khi đến S lò xo ở trạng thái tự nhiên, quả bóng rời lò xo và được định hướng chuyển động không ma sát lên một mặt AO của nêm cố định, nêm AOB có dạng một tam giác vuông cân tại O, cạnh \(OB=\ell =\sqrt{2}m.\) Cơ hệ được mô tả trên hình vẽ. Lấy g = 10 (m/s2).

Chọn gốc thế năng ở mặt phẳng chứa AB. Gọi \(\overrightarrow{v}\) là vận tốc của quả bóng khi lên đến đỉnh nêm, \({{\overrightarrow{v}}_{0}}\) là vận tốc của bóng tại chân nêm S.

1.a) Xác định vận tốc của quả bóng tại đỉnh O của nêm

- Áp dụng định luật bảo toàn năng lượng cho quá trình chuyển động của bóng từ vị trí ban đầu đến đỉnh nêm O, ta được:

\(\frac{k\Delta {{\ell }^{2}}}{2}=\mu mg\Delta \ell +mg\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{m{{v}^{2}}}{2}\)

\(\Rightarrow v=\sqrt{\frac{k\Delta {{\ell }^{2}}}{m}-2\mu g\Delta \ell -gl\sqrt{2}}=\sqrt{\frac{100.0,{{2}^{2}}}{0,1}-2.0,1.10.0,2-10.0,2.\sqrt{2}}=4,43\left( \text{m/s} \right)\)

- Hướng vận tốc quả bóng tại O: Hướng AO, hợp với phương nằm ngang góc \(45{}^\circ .\)

Vậy: Vận tốc của quả bóng tại đỉnh O của nêm có độ lớn \(v=4,43\left( \text{m/s} \right)\)và có hướng dọc theo mặt nêm hợp với phương nằm ngang góc \(45{}^\circ .\)

b) Tốc độ lớn nhất của quả bóng trong quá trình chuyển động

- Trong quá trình chuyển động trên đoạn đường ma sát, ban đầu F_đh > F_ms nên quả bóng chuyển động nhanh dần, đến thời điểm F_đh = F_ms vật chuyển động đều và ngay sau đó F_đh < F_ms nên vận tốc cực đại của bóng đạt được tại vị trí F_đh = F_ms.

\({{F}_{dh}}={{F}_{ms}}\Leftrightarrow \mu mg=kx\Rightarrow x=\frac{\mu mg}{k}=\frac{0,1.0,1.10}{100}=0,001m\)

- Áp dụng định luật bảo toàn năng lượng cho quá trình chuyển động của quả bóng, ta được:

\(\frac{1}{2}k\Delta {{\ell }^{2}}=\frac{1}{2}mv_{\max }^{2}+\frac{1}{2}k{{x}^{2}}+{{F}_{ms}}s\)

\(\Leftrightarrow \frac{1}{2}k\Delta {{\ell }^{2}}=\frac{1}{2}mv_{\max }^{2}+\frac{1}{2}k{{x}^{2}}+\mu mg\left( \Delta \ell -x \right)\)

\(\Rightarrow {{v}_{\max }}=\sqrt{\frac{k\Delta {{\ell }^{2}}}{m}-2\mu g\left( \Delta \ell -x \right)-\frac{k{{x}^{2}}}{m}}\)

\(\Leftrightarrow {{v}_{\max }}=\sqrt{\frac{100.0,{{2}^{2}}}{0,1}-2.0,1.10\left( 0,2-0,001 \right)-\frac{100.0,{{001}^{2}}}{0,1}}=6,29\left( \text{m/s} \right)\)

Vậy: Vận tốc cực đại của quả bóng trong toàn bộ quá trình chuyển động là v_max = 6,29 (m/s)

2. Xác định \(\Delta \ell \) để quả bóng sau khi vượt qua đỉnh O của mặt nêm thì chạm mặt OB đúng một lần tại điểm B.

- Sau khi rời O, quả bóng chuyển động như vật bị ném xiên với vận tốc ban đầu \(\overrightarrow{v}\) hợp với phương ngang một góc \(45{}^\circ .\) Chọn hệ trục tọa độ Oxy như hình vẽ, phân tích chuyển động của quả bóng theo hai phương Ox và Oy, ta được:

   + Theo Oy: \({{a}_{y}}=-\frac{g\sqrt{2}}{2}=const;{{v}_{y}}=-\frac{g\sqrt{2}}{2}t;y=vt-\frac{g\sqrt{2}}{4}{{t}^{2}}.\)

   + Theo Ox: \({{a}_{x}}=\frac{g\sqrt{2}}{2}=const;{{v}_{0x}}=0;x=\frac{g\sqrt{2}}{4}{{t}^{2}}.\)

   + Khi chạm B: \(y=0\Rightarrow t=\frac{g\sqrt{2}v}{g};x=\frac{g\sqrt{2}}{4}{{t}^{2}}=\ell .\)

  \(\Rightarrow \ell =\frac{g\sqrt{2}}{4}{{\left( \frac{g\sqrt{2}v}{g} \right)}^{2}}=\frac{2\sqrt{2}}{g}{{v}^{2}}\)

- Thay \(v=\sqrt{\frac{k\Delta {{\ell }^{2}}}{m}-2\mu g\Delta \ell -g\ell \sqrt{2}}\) vào hệ thức trên, ta được phương trình bậc hai theo \(\Delta \ell :\)

\(50\Delta {{\ell }^{2}}-0,1\Delta \ell -1,25=0\Rightarrow \Delta \ell =0,1591m=15,91cm.\)

Vậy: Để quả bóng sau khi vượt qua đỉnh O của mặt nêm thì chạm mặt OB đúng một lần tại điểm B thì \(\Delta \ell =15,91cm.\)