Một mặt cong nhẵn hình cầu bán kính R được gắn chặt trên một xe lăn nhỏ như hình vẽ ; khối lượng tổng cộng của xe và mặt cong là M. Xe được đặt trên một mặt phẳng nhẵn nằm ngang ; ban đầu, đầu A của mặt cong được tiếp xúc với vách tường thẳng đứng.

a) Độ lên cao tối đa của vật nhỏ trong mặt cong

Xét hệ kín theo phương ngang : « vật nhỏ + mặt cong + xe » ; gốc thế năng tại mặt phẳng nằm ngang.

- Áp dụng định luật bảo toàn cơ năng cho hệ khi vật nhỏ tại A và tại điểm thấp nhất B :

\({{W}_{A}}={{W}_{B}}\Leftrightarrow mgR=\frac{1}{2}{{v}^{2}}\Rightarrow v=\sqrt{2gR}\)     (1)

- Áp dụng các định luật bảo toàn động lượng, bảo toàn cơ năng cho hệ khi vật nhỏ tại B và tại điểm cao nhất của quỹ đạo C:

\(mv=\left( M+m \right)V\Rightarrow V=\frac{mv}{M+m}\)                      (2)

\(\frac{1}{2}m{{v}^{2}}=mgh+\frac{1}{2}\left( M+m \right){{V}^{2}}\)                      (3)

(V là vận tốc của hệ tại điểm cao nhất của quỹ đạo C)

- Thay (1), (2) vào (3) ta được:

\(\frac{1}{2}m.2gR=mgh+\frac{1}{2}\left( M+m \right).{{\left( \frac{mv}{M+m} \right)}^{2}}\)

\(\Rightarrow h=\frac{M}{M+h}R.\)

Vậy : Độ lên cao tối đa của vật nhỏ trong mặt cong là \(h=\frac{M}{M+h}R.\)

b) Vận tốc tối đa mà xe lăn đạt được sau đó.

- Khi quả cầu từ điểm cao nhất trượt xuống, động lượng và cơ năng của hệ vẫn bảo toàn, xe sẽ đạt vận tốc tối đa khi quả cầu xuống tới điểm thấp nhất. Gọi \({V}'\) và \({v}'\) lần lượt là vận tốc của "xe + máng" và của quả cầu trong trường hợp này, áp dụng định luật bảo toàn động lượng và bảo toàn cơ năng cho hệ tại hai điểm C và B, ta được :

\(\left( M+m \right)V=MV-m{v}'\)                (4)

\(\frac{1}{2}m{{v}^{2}}+\frac{1}{2}M{{{V}'}^{2}}+\frac{1}{2}m{{{v}'}^{2}}\)                 (5)

- Từ (1), (4) và (5) ta được: \({V}'=\frac{2m}{M+m}\sqrt{2gR}.\)

Vậy: Vận tốc tối đa mà xe lăn đạt được là \({{v}_{\max }}=\frac{2m}{M+m}\sqrt{2gR}.\)