Hai quả cầu O1, O2 cùng bán kính R và cùng khối lượng m, đặt chồng lên nhau và dựa vào tường như hình vẽ. Do quả cầu O2 bị đẩy nhẹ về phía xa tường nên quả cầu O1 bị trượt xuống theo phương thẳng đứng. Bỏ qua mọi ma sát và sức cản môi trường. Tìm độ lớn vận tốc cuối của quả cầu O2 và độ lớn vận tốc của quả cầu O1 khi chạm sàn.

- Khi hai quả cầu chưa rời nhau, O₁ chuyển động xuống dưới và O₂ chuyển động theo phương ngang nên: \({{v}_{1}}={{v}_{2}}\cot \alpha .\)

- Trong hệ quy chiếu gắn O₂, O₁ chuyển động tròn với vận tốc.

\({{\overrightarrow{v}}_{12}}={{\overrightarrow{v}}_{1}}+\left( -{{\overrightarrow{v}}_{2}} \right)\)

\(\Leftrightarrow v_{12}^{2}=v_{1}^{2}+v_{2}^{2};{{\overrightarrow{v}}_{12}}\bot {{O}_{1}}{{O}_{2}}\)

- Theo định luật bảo toàn cơ năng, ta có: \(mg.2R\left( 1-\sin \alpha  \right)=\frac{1}{2}mv_{1}^{2}+\frac{1}{2}mv_{2}^{2}\)

\(\Leftrightarrow mg.2R\left( 1-\sin \alpha  \right)=\frac{1}{2}mv_{2}^{2}\left( 1+{{\cot }^{2}}\alpha  \right)=\frac{1}{2}m\frac{v_{2}^{2}}{{{\sin }^{2}}\alpha }\)                                (1)

- Trên phương O₁O₂: \({{O}_{1}}{{O}_{2}}:{{Q}_{x}}+{{F}_{qx}}+P\sin \alpha ={{m}_{1}}\frac{v_{12}^{2}}{2R}\)

- Khi m₁ rời m₂ thì \({{Q}_{12}}=0\) và \({{F}_{qt}}=0\) vì vật m₂ bắt đầu chuyển động đều: 

\(v_{12}^{2}=2g\sin \alpha =v_{1}^{2}+v_{2}^{2}\)

\((1)\Leftrightarrow 2gR\left( 1-\sin \alpha  \right)=gR\sin \alpha \Rightarrow \sin \alpha =\frac{2}{3}\)  

\(\Leftrightarrow 2gR\left( 1-\frac{2}{3} \right)=\frac{1}{2}v_{2}^{2}\frac{9}{4}\Rightarrow v_{2}^{2}=\frac{16gR}{27}\)

\(\Rightarrow {{v}_{2}}=\sqrt{\frac{16gR}{27}};{{v}_{1}}=\sqrt{\frac{16gR}{27}}\cot \alpha =\sqrt{\frac{20gR}{27}}\)

- Vật m₁ chuyển động như vật ném đứng xuống dưới với \({{v}_{01}}={{v}_{1}}\)nên:

  + Độ cao ban đầu: \(h=2R\sin \alpha =2R.\frac{2}{3}=\frac{4R}{3}.\)

  + Khi vật chạm sàn: \({{v}_{1}}^{\prime }=\sqrt{v_{1}^{2}+2gh}=\sqrt{\frac{20gR}{27}+2g.\frac{4R}{3}}=\sqrt{\frac{92gR}{27}}.\)

Vậy: Độ lớn vận tốc cuối của quả cầu O₂ và độ lớn vận tốc của quả cầu O₁ khi chạm sàn là \({{v}_{2}}=\sqrt{\frac{16gR}{27}}\) và \({{v}_{1}}^{\prime }=\sqrt{\frac{92gR}{27}}.\)