Dây chiều dài L không dãn nằm trên mặt bàn nằm ngang. Đầu dây bên phải luồn qua một lỗ nhỏ trên bàn và buộc vào phía dưới như hình. Phần dây bên dưới mặt bàn vắt qua một ròng rọc nhỏ nhẹ có treo một vật khối lượng M. Đầu dây bên trái được giữ sao cho lúc đầu ròng rọc ở sát mặt đưới của bàn, sau đó thả ra. Dây trượt trên bàn vào lỗ. Bỏ qua ma sát. Bề dày mặt bàn không đáng kể. Tìm tốc độ v của đầu dây bên trái vào lúc nó di chuyển được một đoạn x trong hai trường hợp:

a) Trường hợp bỏ qua khối lượng dây

Gọi h là khoảng cách từ ròng rọc đến lỗ trên bàn, ta có: \(h=\frac{x}{2}.\)

- Tốc độ của vật M lúc đầu dây trái di chuyển một đoạn x là:

\(u=\frac{\Delta h}{\Delta t}=\frac{1}{2}\frac{\Delta x}{\Delta t}=\frac{v}{2}\)

- Áp dụng định luật bảo toàn năng lượng, ta được:

\(\frac{M{{u}^{2}}}{2}=Mgh\Leftrightarrow {{u}^{2}}=2gh\)

\(\Rightarrow {{v}^{2}}=8gh=4gx\Rightarrow v=2\sqrt{gx}=2\sqrt{10.0,2}=2\sqrt{2}\left( \text{m/s} \right)\)

Vậy: Trường hợp bỏ qua khối lượng dây thì tốc độ của đầu dây bên trái vào lúc nó di chuyển được một đoạn x là \(v=2\sqrt{2}\left( \text{m/s} \right).\)

b) Trường hợp  đây đồng chất tiết diện đều có khối lượng m.

- Áp dụng định luật bảo toàn năng lượng, ta được: \({{\text{W}}_{d}}=\Delta {{\text{W}}_{t}}\) (1)

  + Động năng của vật M: \(\frac{M{{u}^{2}}}{2}.\)

  + Phần dây từ mép trái tới ròng rọc lúc t có khối lượng \(m\frac{L-h}{L}\) và đang chuyển động với tốc độ v nên có động năng: \(m\frac{L-h}{L}.\frac{{{v}^{2}}}{2}.\)

  + Phần dây còn lại đứng yên nên có động năng bằng 0.

\(\Rightarrow {{\text{W}}_{d}}=\frac{M{{u}^{2}}}{2}+m\frac{L-h}{L}.\frac{{{v}^{2}}}{2}=\frac{M{{v}^{2}}}{8}+m\frac{L-h}{L}\frac{{{v}^{2}}}{2}\)    (2)

  + Vật M hạ xuống một đoạn h nên độ giảm thế năng của nó bằng M_gh

  + Phần dây chiều dài x có khối lượng \(m\frac{x}{L},\) di chuyển xuống dưới mặt bàn, trọng tâm của phần dây này hạ xuống một đoạn \(\frac{h}{2}\) nên độ giảm thế năng của nó bằng \(m\frac{x}{L}g\frac{h}{2}.\)

  + Phần dây còn lại trên bàn đứng yên nên thế năng không đổi.

\(\Rightarrow \Delta {{\text{W}}_{t}}=Mgh+m\frac{x}{L}g\frac{h}{2}=\left( M+\frac{mx}{2L} \right)g\frac{x}{2}\)

- Thay (2) và (3) vào (1), ta được: \(\left( \frac{M}{8}+\frac{m\left( L-\frac{x}{2} \right)}{2L} \right){{v}^{2}}=\left( M+\frac{mx}{2L} \right)g\frac{x}{2}\)

\(\Rightarrow v=\sqrt{\frac{\left( M+\frac{mx}{2L} \right)g\frac{x}{2}}{\frac{M}{4}+m\left( 1-\frac{x}{2L} \right)}}=\sqrt{\frac{\left( 0,2+\frac{0,1.0,2}{2.1} \right).10.\frac{0,2}{2}}{\frac{0,2}{4}+0,1.\left( 1-\frac{0,2}{2L} \right)}}=\sqrt{3}\left( m/s \right)\)

Vậy: Trường hợp dây đồng chất tiết diện đều có khối lượng m thì tốc độ của đầu dây bên trái vào lúc nó di chuyển được một đoạn x là \(v=\sqrt{3}\left( \text{m/s} \right).\)