Có ba tấm bảng cùng độ dày: Bảng 1 và bảng 2 hoàn toàn giống nhau và có chiều dài \(\ell ;\) bảng 3 có khối lượng gấp 2 lần bảng 1, có chiều dài \(\text{2}\ell \text{,}\) mặt trên có phủ một lớp cao su mỏng. Lúc đàu bảng 1 nằm hoàn toàn trên bảng 2 và cả hai được coi như một vật trượt trên mặt sàn tới va chạm vào bảng 3. Sau va chạm, bảng 2 và 3 dính vào nhau, còn bảng 1 thì trượt trên mặt bảng 3. Cuối cùng bảng 1 nằm hoàn toàn trên bảng 3 và mép bên phải của chúng trùng nhau. Hệ số ma sát trượt giữa bảng 1 và 3 là \(\mu \text{.}\) Bỏ qua ma sát giữa bảng 1 và 2 và ma sát giữa các bảng với mặt sàn.

a) Vận tốc của bảng 2, bảng 3 ngay sau va chạm và vận tốc của hệ ba bảng khi bảng 1 dừng lại trên bảng 3

- Áp dụng định luật bảo toàn động lượng cho hệ hai bảng 2 và 3, ta được:

\({{\text{m}}_{2}}{{v}_{0}}=\left( {{m}_{2}}+{{m}_{3}} \right){{v}_{23}}\Leftrightarrow m{{v}_{0}}=3m{{v}_{23}}\Rightarrow {{v}_{23}}=\frac{1}{3}{{v}_{0}}\)

- Áp dụng định luật bảo toàn động lượng cho hệ ba bảng sau khi bảng 1 dừng lại trên bảng 3:

\(\left( {{m}_{1}}+{{m}_{2}} \right){{v}_{0}}=\left( {{m}_{1}}+{{m}_{2}}+{{m}_{3}} \right)v\Leftrightarrow 2m{{v}_{0}}=4mv\Rightarrow v=\frac{1}{2}{{v}_{0}}\)

Vậy: Vận tốc của bảng 2, bảng 3 ngay sau va chạm là \({{v}_{23}}=\frac{1}{3}{{v}_{0}}\) và vận tốc của hệ ba bảng khi bảng 1 dừng lại trên bảng 3 là \(v=\frac{1}{2}{{v}_{0}}.\)

b) Tính \(\ell \)

- Áp dụng định luật bảo toàn năng lượng cho hệ ba bảng (từ ngay sau khi bảng 2 dính vào bảng 3 đến khi bảng 1 dừng lại trên bảng 3), ta được:

\(\frac{1}{2}\left( {{m}_{1}}+{{m}_{2}}+{{m}_{3}} \right){{v}^{2}}=\frac{1}{2}{{m}_{1}}v_{0}^{2}+\frac{1}{2}\left( {{m}_{2}}+{{m}_{3}} \right)v_{23}^{2}+\left| {{A}_{ms}} \right|\)

\(\Leftrightarrow \frac{1}{2}.4m{{v}^{2}}=\frac{1}{2}{{m}_{1}}v_{0}^{2}+\frac{1}{2}.3mv_{23}^{2}+\left| {{A}_{ms}} \right|\)

\(\Rightarrow \left| {{A}_{ms}} \right|=\frac{1}{2}.4m{{v}^{2}}-\left( \frac{1}{2}{{m}_{1}}v_{0}^{2}+\frac{1}{2}.3mv_{23}^{2} \right)\)

            \(=\frac{1}{2}.4m{{\left( \frac{1}{2}{{v}_{0}} \right)}^{2}}-\left( \frac{1}{2}{{m}_{1}}v_{0}^{2}+\frac{1}{2}.3m{{\left( \frac{1}{3}{{v}_{0}} \right)}^{2}} \right)\)

\(\Rightarrow \left| {{A}_{ms}} \right|=\frac{mv_{0}^{2}}{6}\)                              (1)

- Khi bảng 1 trượt trên bảng 3 một đoạn x, lực ma sát trượt có độ lớn là:

\({{F}_{ms}}=\mu g\frac{mx}{\ell }=kx,\) với \(k=\frac{\mu gm}{\ell }\)

- Vì \({{F}_{ms}}\sim k\)  như lực đàn hồi nên biểu thức tính công của lực ma sát sẽ là:

\(\left| {{A}_{1ms}} \right|=\frac{1}{2}k{{x}^{2}}=\frac{1}{2}.\frac{\mu gm}{\ell }{{x}^{2}}\)

- Công lực ma sát khi dịch chuyển một đoạn đường \(x=\ell :\left| {{A}_{1ms}} \right|=\frac{\mu gm}{2}\ell .\)

- Khi bảng 1 nằm hoàn toàn trên bảng 3 và dịch chuyển thêm một đoạn l để mép phải của chúng trùng nhau, công của lực ma sát lúc này là: \(\left| {{A}_{2ms}} \right|=\mu mg\ell .\)

Mà \(\left| {{A}_{ms}} \right|=\left| {{A}_{1ms}} \right|+\left| {{A}_{2ms}} \right|=\frac{1}{2}\mu mg\ell +\mu mg\ell =\frac{3}{2}\mu mg\ell \)                     (2)

- Từ (1) và (2), ta được: \(\frac{mv_{0}^{2}}{6}=\frac{3}{2}\mu mg\ell \Rightarrow \ell =\frac{v_{0}^{2}}{9\mu g}.\)

Vậy : \(\ell =\frac{v_{0}^{2}}{9\mu g}.\)