Ba vòng đệm nhỏ giống nhau \({{O}_{1}},{{O}_{2}},{{O}_{3}}\) nằm yên trên sàn ngang nhẵn. Truyền vận tốc \({{v}_{0}}\) cho \({{O}_{1}}\) đến va chạm đồng thời với \({{O}_{2}}\) và \({{O}_{3}}\). Giả sử va chạm tuyệt đối đàn hồi, khoảng cách \({{O}_{2}}{{O}_{3}}\) bằng \(k\) lần đường kính mỗi vòng

a) Giá trị của \(k\) để ngay sau va chạm thì  dừng lại, dội ngược lại, tiếp tục chuyển động theo hướng ban đầu

Gọi x\(\overrightarrow{{{v}_{1}}},\overrightarrow{{{v}_{2}}},\overrightarrow{{{v}_{3}}}\) lần lượt là vectơ vận tốc của các dòng ngay sau va chạm. Xét hệ kín "\({{O}_{1}},{{O}_{2}}\) và \({{O}_{3}}\)"; va chạm của các vật là tuyệt đối đàn hồi

Áp dụng định luật bảo toàn động lượng và bảo toàn động năng cho hệ trước và sau va chạm, ta được:

\(m\overrightarrow{{{v}_{0}}}=m\overrightarrow{{{v}_{1}}}+m\overrightarrow{{{v}_{2}}}+m\overrightarrow{{{v}_{3}}}\) (1)

\(\frac{1}{2}mv_{0}^{2}=\frac{1}{2}mv_{1}^{2}+\frac{1}{2}mv_{2}^{2}+\frac{1}{2}v_{3}^{2}\) (2)

Từ (1), ta được: \(\overrightarrow{{{v}_{1}}}+\overrightarrow{{{v}_{2}}}+\overrightarrow{{{v}_{3}}}=\overrightarrow{{{v}_{0}}}\); do tính đối xứng của hệ nên: \({{v}_{2}}={{v}_{3}}=v\)

\(\Rightarrow {{v}_{1}}+2v\cos \alpha ={{v}_{0}}\Leftrightarrow {{v}_{0}}-{{v}_{1}}=2v\cos \alpha \)                                                                                                                   (3)

Từ (2), ta được: \(2m{{v}^{2}}+m_{1}^{2}=mv_{0}^{2}\Rightarrow v_{0}^{2}-v_{1}^{2}=2{{v}^{2}}\)                                                                                                                   (4)

Từ (3) và (4), ta được: \(v=\frac{2{{v}_{0}}\cos \alpha }{1+2{{\cos }^{2}}\alpha };{{v}_{1}}={{v}_{0}}\frac{1-2{{\cos }^{2}}\alpha }{1+2{{\cos }^{2}}\alpha }\)        (5)

Theo đề: \({{O}_{2}}{{O}_{3}}=k.2R\Rightarrow \sin \alpha =\frac{\frac{{{O}_{2}}{{O}_{3}}}{2}}{2R}=\frac{\frac{k.2R}{2}}{2R}=\frac{k}{2}\) (với \(k\le 2\))

\(\Rightarrow {{\cos }^{2}}\alpha =1-\frac{{{k}^{2}}}{4}\)              (6)

Thay (6) vào (5) ta được: \({{v}_{1}}={{v}_{0}}\frac{1-2\left( 1-\frac{{{k}^{2}}}{4} \right)}{1+2\left( 1-\frac{{{k}^{2}}}{4} \right)}={{v}_{0}}\frac{{{k}^{2}}-2}{6-{{k}^{2}}}\)      (7)

Từ (7) ta có:

+ Để \({{O}_{1}}\) dừng lại ngay sau va chạm: \({{v}_{1}}=0\Rightarrow k=\sqrt{2}\)

+ Để \({{O}_{1}}\) dội ngược lại ngay sau va chạm: \({{v}_{1}}<0\Rightarrow k<\sqrt{2}\)

+ Để \({{O}_{1}}\) tiếp tục đi tới sau va chạm: \({{v}_{1}}>0\Rightarrow k>\sqrt{2}\)

Vậy: để \({{O}_{1}}\) dừng lại ngay sau va chạm thì \(k=\sqrt{2}\); để \({{O}_{1}}\) dội ngược lại ngay sau va chạm thì \(k<\sqrt{2}\); để \({{O}_{1}}\) tiếp tục đi tới sau va chạm thì \(k>\sqrt{2}\)

b) Nhận xét về chuyển động sau va chạm của hệ nếu \(k=1,k=2\)

Trường hợp \(k=1\): Từ (5), (6) và (7), ta được: \({{v}_{1}}=-\frac{{{v}_{0}}}{5};{{v}_{2}}={{v}_{3}}=\frac{2\sqrt{3}}{5}{{v}_{0}};\sin \alpha =\frac{1}{2}\Rightarrow \alpha =30{}^\circ \): các vectơ \(\overrightarrow{{{v}_{2}}}\) và \(\overrightarrow{{{v}_{3}}}\) hợp với phương \(\overrightarrow{{{v}_{0}}}\) góc \(30{}^\circ \)

Trường hợp \(k=2\): Từ (5), (6) và (7), ta được: \({{v}_{1}}={{v}_{0}};{{v}_{2}}={{v}_{3}}=0\); va chạm không xảy ra