A là khúc gỗ mang một cái cọc thẳng đứng, tổng khối lượng là M đặt trên mặt đất nằm ngang. B là quả cầu nhỏ khối lượng m, treo vào đỉnh cọc bằng sợi dây không dãn. Đưa quả cầu tới vị trí sao cho sợi dây nằm ngang rồi thả nhẹ để nó chuyển động từ nghỉ. Để khúc gỗ A không bị dịch chuyển cho tới khi quả cầu chạm vào cọc thì hệ số ma sát nghỉ giữa khúc gỗ và mặt đất nhỏ nhất bằng bao nhiêu ?

- Khi quả cầu chuyển động tới vị trí dây treo tạo với phương ngang góc \(\theta ,\) nó có vận tốc v. Theo định luật bảo toàn cơ năng, ta được:

\(mg\ell \sin \theta =\frac{1}{2}m{{v}^{2}}\)                                 (1)

- Gọi lực căng dây là T, vì quả cầu chuyển động tròn nên :

\(T-mg\sin \theta =\frac{m{{v}^{2}}}{l}\)                           (2)

- Vì khúc gỗ đứng yên:

\(T\sin \theta +Mg-N=0\)                    (3)

\(T\cos \theta -{{F}_{msn}}=0\)                   (4)

- Mà \({{F}_{msn}}\le \mu N\)                                 (5)

- Từ các công thức trên ta được:

\(\mu \ge \frac{3m\sin \theta \cos \theta }{3m{{\sin }^{2}}\theta +M}=\frac{2\sin \theta \cos \theta }{2{{\sin }^{2}}\theta +a}\)      (6)

với \(a=\frac{2M}{3m}\)                                           (7)

Đặt \(f\left( \theta  \right)=\frac{2\sin \theta \cos \theta }{a+2{{\sin }^{2}}\theta }\)                      (8)

- Để khối gỗ đứng yên với mọi giá trị khả dĩ của \(\theta \) thì giá trị nhỏ nhất \({{\mu }_{\min }}\) phải bằng giá trị lớn nhất của \(f\left( \theta  \right)\) khi \(\theta \) thay đổi.

Ta có:

\(f\left( \theta  \right)=\frac{2\sin \theta \cos \theta }{a\left( {{\sin }^{2}}\theta +{{\cos }^{2}}\theta  \right)+2{{\sin }^{2}}\theta }=\frac{2\sin \theta \cos \theta }{a{{\cos }^{2}}\theta +\left( a+2 \right){{\sin }^{2}}\theta }=\frac{2}{\frac{a}{\tan \theta }+\left( a+2 \right)\tan \theta }\)        (9)

- Theo bất đẳng thức Cosi, ta có: Khi \(\tan \theta =\sqrt{\frac{a}{a+2}}\)

thì \(f{{\left( \theta  \right)}_{\max }}=\frac{1}{\sqrt{a\left( a+2 \right)}}=\frac{3m}{2\sqrt{{{M}^{2}}+3mM}}\Rightarrow {{\mu }_{\min }}=\frac{3m}{2\sqrt{^{2}+3mM}}\)

Vậy: Hệ số ma sát nghỉ giữa khúc gỗ và mặt đất nhỏ nhất phải bằng

\({{\mu }_{\min }}=\frac{3m}{2\sqrt{{{M}^{2}}+3mM}}\)