Giải hệ phương trình \(\left\{\begin{matrix} x\sqrt{1-97y^2}+y\sqrt{1-97x^2}=\sqrt{97}(x^2+y^2)\\ 27\sqrt{x}+8\sqrt{y}=\sqrt{97}

Điều kiện \(0\leq x,y\leq \frac{1}{\sqrt{97}}\)
Thay (x; y) bằng một trong các cặp số \((0;0),(0;\frac{1}{\sqrt{97}})(\frac{1}{\sqrt{97}};0),(\frac{1}{\sqrt{97}};\frac{1}{\sqrt{97}})\) vào hệ (1) vào (2) ta thấy các cặp này đều không là nghiệm.
Do đó \(0< x,y< \frac{1}{\sqrt{97}}\)
Đặt \(\sqrt{97}x=a,\sqrt{97}y=b\). Do \(0< x,y< \frac{1}{\sqrt{97}}\) nên \(0< a,b< 1\)
Khi đó (1) trở thành \(a\sqrt{1-b^2}+b\sqrt{1-a^2}=a^2+b^2\Leftrightarrow a(a-\sqrt{1-b^2})+b(b-\sqrt{1-a^2})=0\)
\(\Leftrightarrow (a^2+b^2-1)\left ( \frac{a}{a+\sqrt{1-b^2}}+\frac{b}{b+\sqrt{1-a^2}} \right )=0\Leftrightarrow a^2+b^2=1\)
Suy ra \(x^2+y^2=\frac{1}{97}\)

Với các số dương \(a_1,a_2,b_1,b_2\) ta có \(a_1b_1+a_2,b_2\leq \sqrt{a^2_1+a^2_2}.\sqrt{b^2_1+b^2_2}\)
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(a_1b_2+a_2,b_1\). Thật vậy
\(a_1b_1+a_2,b_2\leq \sqrt{a^2_1+a^2_2}.\sqrt{b^2_1+b^2_2}\Leftrightarrow (a_1b_1+a_2b_2)^2\leq (a^2_1+a^2_2)(b_1^2+b_2^2)\)
\(\Leftrightarrow (a_1b_2-a_2b_1)^2\geq 0\)
Do đó \(27\sqrt{x}+8\sqrt{y}\leq \sqrt{97}\sqrt{9x+4y}\leq \sqrt{97} \sqrt{\sqrt{97}\sqrt{x^2+y^2}}=\sqrt{97}\)
(Do \(x^2+y^2=\frac{1}{97}\))
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 4x = 9y và \(x^2+y^2=\frac{1}{97}\)
Do đó \(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x^2+y^2=\frac{1}{97}\\ 4x=9y \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=\frac{9}{97}\\ \\ y=\frac{4}{97} \end{matrix}\right.\)
Đối chiếu với điều kiện ta được nghiệm của hệ phương trình đã cho là \((x;y)=\left ( \frac{9}{97};\frac{4}{97} \right )\)