OPTADS360
AANETWORK
AMBIENT
YOMEDIA
Banner-Video
IN_IMAGE

Chứng minh (1+b)/(1+4a^2)+(1+c)/(1+4b^2)+(1+a)/(!+4c^2)>=9/4

cho các số dương a,b,c thỏa mãn a+b+c = \(\dfrac{3}{2}\)

cmr: \(\dfrac{1+b}{1+4a^2}+\dfrac{1+c}{1+4b^2}+\dfrac{1+a}{1+4c^2}\ge\dfrac{9}{4}\)

  bởi Nguyễn Thị An 13/09/2018
ADSENSE/lession_isads=0
QUẢNG CÁO
 

Câu trả lời (1)

  • \(VT=\left(\dfrac{a}{1+4c^2}+\dfrac{b}{1+4a^2}+\dfrac{c}{1+4b^2}\right)+\left(\dfrac{1}{1+4c^2}+\dfrac{1}{1+4a^2}+\dfrac{1}{1+4b^2}\right)\)

    \(VT=\dfrac{3}{2}-\left(\dfrac{4c^2a}{1+4c^2}+\dfrac{4a^2b}{1+4a^2}+\dfrac{4b^2c}{1+4b^2}\right)+3-\left(\dfrac{4c^2}{1+4c^2}+\dfrac{4a^2}{1+4a^2}+\dfrac{4b^2}{1+4b^2}\right)\)

    Xét \(\dfrac{3}{2}-\left(\dfrac{4c^2a}{1+4c^2}+\dfrac{4a^2b}{1+4a^2}+\dfrac{4b^2c}{1+4b^2}\right)\)

    Áp dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz

    \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}1+4c^2\ge2\sqrt{4c^2}=4c\\1+4a^2\ge2\sqrt{4a^2}=4a\\1+4b^2\ge2\sqrt{4b^2}=4b\end{matrix}\right.\)

    \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{4c^2a}{1+4c^2}\le\dfrac{4c^2a}{4c}=ca\\\dfrac{4a^2b}{1+4a^2}\le\dfrac{4a^2b}{4a}=ab\\\dfrac{4b^2c}{1+4b^2}\le\dfrac{4b^2c}{4b}=bc\end{matrix}\right.\)

    \(\Rightarrow\dfrac{3}{2}-\left(\dfrac{4c^2a}{1+4c^2}+\dfrac{4a^2b}{1+4a^2}+\dfrac{4b^2c}{1+4b^2}\right)\ge\dfrac{3}{2}-\left(ab+bc+ca\right)\) (1)

    Xét \(3-\left(\dfrac{4c^2}{1+4c^2}+\dfrac{4a^2}{1+4a^2}+\dfrac{4b^2}{1+4b^2}\right)\)

    Áp dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz

    \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}1+4c^2\ge2\sqrt{4c^2}=4c\\1+4a^2\ge2\sqrt{4a^2}=4a\\1+4b^2\ge2\sqrt{4b^2}=4b\end{matrix}\right.\)

    \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{4c^2}{1+4c^2}\le\dfrac{4c^2}{4c}=c\\\dfrac{4a^2}{1+4a^2}\le\dfrac{4a^2}{4a}=a\\\dfrac{4b^2}{1+4b^2}\le\dfrac{4b^2}{4b}=b\end{matrix}\right.\)

    \(\Rightarrow3-\left(\dfrac{4c^2}{1+4c^2}+\dfrac{4a^2}{1+4a^2}+\dfrac{4b^2}{1+4b^2}\right)\ge\dfrac{3}{2}\) (2)

    Từ (1) và (2)

    \(\Rightarrow VT\ge\dfrac{3}{2}-\left(ab+bc+ca\right)+\dfrac{3}{2}\)

    \(\Rightarrow VT\ge3-\left(ab+bc+ca\right)\) (3)

    Theo hệ quả của bất đẳng thức Cauchy

    \(\Rightarrow\left(a+b+c\right)^2\ge3\left(ab+bc+ca\right)\)

    \(\Rightarrow\dfrac{3}{4}\ge ab+bc+ca\)

    \(\Rightarrow3-\dfrac{3}{4}\le3-\left(ab+bc+ca\right)\)

    \(\Rightarrow\dfrac{9}{4}\le3-\left(ab+bc+ca\right)\) (4)

    Từ (3) và (4)

    \(\Rightarrow VT\ge\dfrac{9}{4}\)

    \(\Leftrightarrow\dfrac{1+b}{1+4a^2}+\dfrac{1+c}{1+4b^2}+\dfrac{1+a}{1+4c^2}\ge\dfrac{9}{4}\) (đpcm)

    Dấu " = " xảy ra khi \(a=b=c=\dfrac{1}{2}\)

      bởi Đức Bùi 13/09/2018
    Like (0) Báo cáo sai phạm
Cách tích điểm HP

Nếu bạn hỏi, bạn chỉ thu về một câu trả lời.
Nhưng khi bạn suy nghĩ trả lời, bạn sẽ thu về gấp bội!

Lưu ý: Các trường hợp cố tình spam câu trả lời hoặc bị báo xấu trên 5 lần sẽ bị khóa tài khoản

Gửi câu trả lời Hủy
 
 

Các câu hỏi mới

NONE
OFF

XEM NHANH CHƯƠNG TRÌNH LỚP 8