OPTADS360
ATNETWORK
RANDOM
ON
YOMEDIA
Banner-Video
IN_IMAGE

Cho \(a > 0\) và \(b > 0\), chứng tỏ rằng: \(\displaystyle\left( {a + b} \right)\left( {{1 \over a} + {1 \over b}} \right) \ge 4\)

  bởi Mai Anh 09/02/2021
AMBIENT-ADSENSE/lession_isads=0
QUẢNG CÁO
 

Câu trả lời (2)

  • Ta có:

    \(\displaystyle\eqalign{  & {\left( {a - b} \right)^2} \ge 0  \cr  &  \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} - 2ab \ge 0  \cr  &  \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} - 2ab + 2ab \ge 2ab  \cr  &  \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} \ge 2ab \cr} \)

    Vì \(a > 0, b > 0\) nên  \(ab > 0 \displaystyle \Rightarrow {1 \over {ab}} > 0\)

    \(\displaystyle\eqalign{  &\Rightarrow \left( {{a^2} + {b^2}} \right).{1 \over {ab}} \ge 2ab.{1 \over {ab}}  \cr  &  \Leftrightarrow {a \over b} + {b \over a} \ge 2  \cr  &  \Leftrightarrow 2 + {a \over b} + {b \over a} \ge 2 + 2  \cr  &  \Leftrightarrow 2 + {a \over b} + {b \over a} \ge 4  \cr  &  \Leftrightarrow 1 + 1 + {a \over b} + {b \over a} \ge 4  \cr  & \Leftrightarrow {a \over a} + {a \over b} + {b \over b} + {b \over a} \ge 4\cr&  \Leftrightarrow a\left( {{1 \over a} + {1 \over b}} \right) + b\left( {{1 \over a} + {1 \over b}} \right) \ge 4  \cr  &  \Leftrightarrow \left( {a + b} \right)\left( {{1 \over a} + {1 \over b}} \right) \ge 4 \cr} \)

      bởi Bánh Mì 09/02/2021
    Like (0) Báo cáo sai phạm

  • bài này có nhiều cách

    Cách 1: Áp dụng bđt AM-GM ta có :

    a + b ≥ 2√ab (1)

    1/a + 1/b ≥ 2√(1/a.1/b) = 2√(1/ab) (2)

    Nhân (1) và (2) theo vế ta có đpcm

    Cách 2: ( a + b )( 1/a + 1/b ) = 1 + a/b + b/a + 1 = 2 + a/b + b/a

    Theo bđt AM-GM ta có : a/b + b/a ≥ 2√a/b.b/a = 2

    => ( a + b )( 1/a + 1/b ) = 2 + a/b + b/a ≥ 2 + 2 = 4 ( đpcm )

    Đẳng thức xảy ra <=> a = b 

      bởi Trần Nhật Quỳnh(CTV OLM) 10/03/2021
    Like (0) Báo cáo sai phạm
Cách tích điểm HP

Nếu bạn hỏi, bạn chỉ thu về một câu trả lời.
Nhưng khi bạn suy nghĩ trả lời, bạn sẽ thu về gấp bội!

Lưu ý: Các trường hợp cố tình spam câu trả lời hoặc bị báo xấu trên 5 lần sẽ bị khóa tài khoản

Gửi câu trả lời Hủy
 
 

Các câu hỏi mới

NONE
OFF

XEM NHANH CHƯƠNG TRÌNH LỚP 8