Xác định tọa độ đỉnh A của hình vuông ABCD, biết khoảng cách từ A đến đường thẳng MD bằng 4 và điểm N có hoành độ âm

Ta có \(\small \Delta IMC\sim \Delta IDA\Rightarrow \frac{IA}{IC}=\frac{ID}{IM}=\frac{DA}{MC}=2\Rightarrow \frac{IN}{IA}=\frac{5}{8}\)
\(\small \Rightarrow d(N, MD)=\frac{5}{8}d(A,MD)= \frac{5}{2}\)
Trước hết ta chứng minh \(\small d(N, MD)=\frac{5}{8}d(A,MD)= \frac{5}{2}\)
Giả sử N(n;-3n-4)
Từ \(\small d(N, MD)=\frac{5}{2}\Rightarrow \left | n-1 \right |=\frac{5}{2}\Rightarrow \bigg \lbrack\begin{matrix} n=\frac{7}{2} \ (loai)\\ n=-\frac{3}{2} \end{matrix}\Rightarrow N\left ( -\frac{3}{2};\frac{1}{2} \right )\)
Lại do tam giác MND vuông cân \(\small \Rightarrow ND= \sqrt{2}d(N,MD)=\frac{5\sqrt{2}}{2}\)
Nên các điểm D và M là giao của đường thẳng DM và đường tròn tâm N bán kinh \(\small ND=\frac{5\sqrt{2}}{2}\) , hay tọa độ các điểm đó là nghiệm của hệ

\(\small \left\{\begin{matrix} x-1=0\\ \left ( x+\frac{3}{2} \right )^2+\left ( y-\frac{1}{2} \right )^2= \frac{25}{2} \end{matrix}\right.\Rightarrow \bigg \lbrack\begin{matrix} (x;y)=(1;3)\rightarrow D(1;3),M(1;-2)\\ (x;y)=(1;-2)\rightarrow D(1;-2),M(1;3) \end{matrix}\)
+ Trường hợp 1: \(\small D(1;3),M(1;-2)\) từ \(\small \overrightarrow{DI}=2\overrightarrow{IM}\Rightarrow I\left ( 1;-\frac{1}{3} \right )\) lại từ \(\small \overrightarrow{IN}=\frac{5}{8}\overrightarrow{IA}\Rightarrow A(-3;1)\)
+ Trường hợp 2: \(\small \small D(1;-2),M(1;3)\) từ \(\small \overrightarrow{DI}=2\overrightarrow{IM}\rightarrow I\left ( 1;\frac{4}{3} \right )\) lại từ từ \(\small \small \overrightarrow{IN}=\frac{5}{8}\overrightarrow{IA}\Rightarrow A(-3;0)\)