Xác định tọa độ các đỉnh của hình vuông ABCD, biết tung độ đỉnh A là số nguyên

Gọi M là trung điểm của BI và N là hình chiếu vuông góc của G lên BI.

Ta có \(GN//AI\Rightarrow \frac{IN}{IM}=\frac{AG}{AM}=\frac{2}{3}\Rightarrow IN=\frac{2}{3}IM=\frac{1}{3}BI \ \ (1)\)
E là trọng tâm \(\Delta\)ACD
\(\Rightarrow IE=\frac{1}{3}DI=\frac{1}{3}BI=EN=IN+IE=\frac{2}{3}BI=BN\)
\(\Rightarrow BN=EN\Rightarrow \Delta BGE\) cân tại G
\(\rightarrow GA=GB=GE\rightarrow A,E,B\) cùng thuộc đường tròn tâm G
\(\rightarrow \widehat{AGE}=2\widehat{ABE}=2.45^0=90^0\rightarrow \Delta AGE\) vuông cân tại G
Phương trình \((AG):\left\{\begin{matrix} qua \ G\\ \perp GE \end{matrix}\right.\rightarrow (AG):x+13y-51=0\rightarrow A(51-13a;a)\)
Khi đó \(\Delta\)AGE vuông cân tại \(G\rightarrow AG=GE\)
\(\rightarrow AG^2=\left ( \frac{143}{3} -13a\right )^2+\left ( a-\frac{11}{3} \right )^2=\frac{170}{9}\)
\(\rightarrow \bigg \lbrack\begin{matrix} a=4\\ a=\frac{10}{3} \end{matrix}\rightarrow A(-1;4)\)
Ta có \(AG=\frac{2}{3}AM\rightarrow \overrightarrow{AG}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AM}\rightarrow M\left ( \frac{11}{2};\frac{7}{2} \right )\)
Phương trình (BD) đi qua E và \(M\rightarrow (BD): 5x-3y-17=0\)
Phương đường tròn \((G):\left\{\begin{matrix} tan \ G\\ R=GA \end{matrix}\right.\rightarrow (G):\left ( x-\frac{10}{3} \right )^2+\left ( y-\frac{11}{3} \right )^2=\frac{170}{9}\)
B là giao điểm thứ hai của (BG) và (G) \(\rightarrow B(7;6)\)
Phương trình \((AD):\left\{\begin{matrix} qua \ A\\ \perp AB \end{matrix}\right.\rightarrow (AD): 4x+y=0\rightarrow D(1;-4)\)
ABCD là hình vuông \(\rightarrow \overline{AB}=\overline{DC}\rightarrow C(9;-2)\)
Bài toán có 1 nghiệm A (-1; 4), B(7;6), C(9;-2) và D(1;-4)