Xác định tọa độ các đỉnh của hình vuông ABCD biết khoảng cách từ điểm H đến cạnh CD bằng\(\small \frac{12\sqrt{2}}{13}\

Gọi E là hình chiếu vuông góc của H trên \(CD\Rightarrow HE=\frac{12\sqrt{2}}{13}\)
Giả sử cạnh hình vuông bằng a (a > 0)
Ta có \(2\overrightarrow{NB}+\overrightarrow{NC}=\overrightarrow{0}\Leftrightarrow \overrightarrow{CN}=\frac{2}{3}\overrightarrow{CB}\)nên N nằm giữa B và C sao cho \(CN=\frac{2}{3}CB=\frac{2a}{3}\)
\(\Rightarrow DN=\sqrt{CD^2+CN^2}=\frac{a\sqrt{13}}{3}\)
Có \(\Delta ADH\sim \Delta DNC(g.g)\Rightarrow \frac{AD}{DN}=\frac{DH}{NC}=\frac{a}{\frac{a\sqrt{13}}{3}}=\frac{3}{\sqrt{13}}\Rightarrow DH=\frac{2a}{\sqrt{13}}\)
\(\small \Delta DHE\sim \Delta DNC(g.g)\Rightarrow \frac{HE}{NC}=\frac{DH}{DC}=\frac{\frac{2a}{\sqrt{13}}}{\frac{a\sqrt{13}}{3}}=\frac{6}{13}\Rightarrow NC=\frac{13}{6}HE=2\sqrt{2}\)
\(\small \Leftrightarrow \frac{2a}{3}=2\sqrt{2}\Leftrightarrow a=3\sqrt{2}\)
Giả sử VTPT của AD là \(\small \vec{n}=(a;b)\) với \(\small (a^2+b^2\neq 0)\)
PT AD: ax + by – 3a – 6b = 0
\(\small \Rightarrow d(N,AD)=3\sqrt{2}\Leftrightarrow \frac{\left | -2a-8b \right |}{\sqrt{a^2+b^2}}=3\sqrt{2}\Leftrightarrow 7a^2-16ab-23b^2=0\)
\(\small \Leftrightarrow (a+b)(7a-23b)=0\Leftrightarrow \bigg \lbrack\begin{matrix} a+b=0\\ 7a-23b=0 \end{matrix}\)
Trường hợp 1: a + b = 0
Suy ra pt AD: x – y + 3 = 0
\(\small NP \perp AD \Rightarrow pt NP: x + y + 1 = 0 \Rightarrow P = AD \cap NP =>P(-2;1)\)
\(\small \left.\begin{matrix} AP=BN=\frac{1}{3}BC=\sqrt{2}\\ A\in AD\Rightarrow A(m;m+3)(m>-2) \end{matrix}\right\}\Rightarrow AP=\sqrt{2}\Leftrightarrow \bigg \lbrack\begin{matrix} m=-1\ (TM)\\ m=-3\ (L) \end{matrix}\Rightarrow A(-1;2)\)
Lúc đó \(\small \overline{PD}=2\overline{AP}\Rightarrow D(-4;-1)\)
Từ đó ta tìm được B(2;-1), C(-1;-4)
Do đó A(-1;2), B(2;-1), C(-1;-4), D(-4;-1)
Trường hợp 2: 7a – 23b = 0
Suy ra pt AD: 23x + 7y – 111 = 0
\(\small NP \perp AD\Rightarrow pt \ NP: 7x - 23y - 53 = 0 \Rightarrow P= AD \cap NP \Rightarrow P(\frac{86}{17};\frac{-13}{17})\)
\(\small \left.\begin{matrix} AP=BN=\frac{1}{3}BC=\sqrt{2}\\ A\in AD\Rightarrow A(m;\frac{111-23m}{7})(m>-2) \end{matrix}\right\}\Rightarrow AP=\sqrt{2}\Leftrightarrow \bigg \lbrack\begin{matrix} m=\frac{93}{17} \ (L)\\ m=\frac{79}{17} (L) \end{matrix}\)
Kết luận: Vậy A(-1;2), B(2;-1), C(-1;-4), D(-4;-1)