Xác định tất cả các giá trị của m để phương trình \(\left( {{x^2} + 4x + 3} \right)\left( {{x^2} + 8x + 14} \right) - m + 2017 = 0\) có nghiệm thỏa mãn \({x^2} + 6x + 6 \le 0\).

\(\begin{array}{l}\left( {{x^2} + 4x + 3} \right)\left( {{x^2} + 8x + 14} \right) - m + 2017 = 0\\ \Leftrightarrow \left( {{x^2} + 6x + 9 - 2x - 6} \right).\\\left( {{x^2} + 6x + 9 + 2x + 6} \right) - m + 2017 = 0\\ \Leftrightarrow {\left( {{x^2} + 6x + 9} \right)^2} - {\left( {2x + 6} \right)^2} - m + 2017 = 0\\ \Leftrightarrow {\left( {x + 3} \right)^4} - 4{\left( {x + 3} \right)^2} - m + 2017 = 0\end{array}\)

Đặt \(t = {\left( {x + 3} \right)^2} \ge 0\), khi đó phương trình trở thành \({t^2} - 4t - m + 2017 = 0 \)\(\,\Leftrightarrow {t^2} - 4t + 2017 = m\).

Ta có: \({x^2} + 6x + 6 \le 0 \)

\(\Leftrightarrow {x^2} + 6x + 9 \le 3 \)

\(\Leftrightarrow {\left( {x + 3} \right)^2} \le 3 \Leftrightarrow t \le 3\)

Số nghiệm của phương trình là số giao điểm của đồ thị hàm số \(f\left( t \right) = {t^2} - 4t + 2017\,\,\left( {0 \le t \le 3} \right)\) và đường thẳng \(y = m\) song song với trục hoành.

Xét hàm số \(f\left( t \right) = {t^2} - 4t + 2017\,\,\left( {t \le 3} \right)\) ta có BBT :

Dựa vào BBT ta có : để phương trình có nghiệm \(t \in \left[ {0;3} \right]\) thì \(2013 \le m \le 2017\).

Vậy \(m \in \left[ {2013;2017} \right]\).