Xác định tất cả các giá trị của m để bất phương trình sau: \(\sqrt {3 + x} + \sqrt {6 - x} - \sqrt {(3 + x)(6 - x)} \le m\) đúng \(\forall x \in \left[ { - 3;6} \right].\)

\(\sqrt {3 + x}  + \sqrt {6 - x}  - \sqrt {(3 + x)(6 - x)} \)\( \le m\,\,\,\,\left( * \right)\)

Điều kiện: \( - 3 \le x \le 6.\)

Đặt \(\sqrt {3 + x}  + \sqrt {6 - x}  = a \ge 0.\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow {a^2} = {\left( {\sqrt {3 + x}  + \sqrt {6 - x} } \right)^2}\\ = 9 + 2\sqrt {\left( {3 + x} \right)\left( {6 - x} \right)}  \ge 9\\ \Rightarrow {a^2} \ge 9 \Rightarrow a \ge 3.\end{array}\)

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số không âm \(\sqrt {3 + x} \) và \(\sqrt {6 - x} \) ta có:

\(2\sqrt {\left( {3 + x} \right)\left( {6 - x} \right)}  \le 3 + x + 6 - x\)\( = 9\)

\( \Rightarrow {a^2} \le 9 + 9 = 18 \Rightarrow a \le 3\sqrt 2 .\)

Vậy \(3 \le a \le 3\sqrt 2 .\)

Ta có:

\(\begin{array}{l}{a^2} = 9 + 2\sqrt {\left( {3 + x} \right)\left( {6 - x} \right)} \\ \Rightarrow \sqrt {\left( {3 + x} \right)\left( {6 - x} \right)}  = \frac{{{a^2} - 9}}{2}.\end{array}\)

Bất phương trình trở thành: \(a - \frac{{{a^2} - 9}}{2} \le m\) \( \Leftrightarrow m \ge \frac{{ - {a^2} + 2a + 9}}{2}.\)

Xét hàm số \(f\left( a \right) =  - {a^2} + 2a + 9\) với \(3 \le a \le 3\sqrt 2 .\)

Ta có bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên suy ra \(f\left( a \right) \le 6\) với \(3 \le a \le 3\sqrt 2 .\)

Vậy để \(\sqrt {3 + x}  + \sqrt {6 - x}  - \sqrt {(3 + x)(6 - x)}  \le m\) đúng \(\forall x \in \left[ { - 3;6} \right]\) thì \(m \ge \frac{{\max f\left( a \right)}}{2} \Leftrightarrow m \ge 3.\)