Xác định \(m\) để phương trình \(m{x^2} - 2\left( {m - 2} \right) + m - 3 = 0\) có đúng một nghiệm âm.

Cho phương trình \(m{x^2} - 2\left( {m - 2} \right)x + m - 3 = 0\) .

Xét các trường hợp:

+ \(m=0\): Phương trình trở thành \(4x - 3 = 0 \Leftrightarrow x = \dfrac{3}{4}\) (loại).

+ \(m \ne 0\) :  \(\Delta ' = {\left( {m - 2} \right)^2} - m\left( {m - 3} \right) =  - m + 4\) .

Phương trình có đúng một nghiệm âm khi xảy ra một trong các trường hợp sau

+ \({x_1} = {x_2} < 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta ' = 0\\S < 0\end{array} \right. \)

\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - m + 4 = 0\\\dfrac{{2\left( {m - 2} \right)}}{m} < 0\end{array} \right.\) vô nghiệm.

+ \({x_1} < 0 < {x_2} \Leftrightarrow P < 0\)\( \Leftrightarrow \dfrac{{m - 3}}{m} < 0 \Leftrightarrow 0 < m < 3\).

+ \({x_1} < 0 = {x_2} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}P = 0\\S < 0\end{array} \right .\)

\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{m - 3}}{m}=0\\\dfrac{{2\left( {m - 2} \right)}}{m} < 0\end{array} \right.\) vô nghiệm.

Tóm lại phương trình có đúng một nghiệm âm khi \(m \in \left( {0;3} \right)\) .