Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC vuông cân tại A, đường thẳng BC có phương trình y = 0

Hai tam giác MAB, MAC cân tại M. Gọi I, N lần lượt là trung điểm của AB và AC. Ta có MI và O₁ I cùng vuông góc với AB nên ba điểm I, O₁, M thẳng hàng. Tương tự, ta cũng có ba điểm M, N, O₂ thẳng hàng.
Khi đó IN cắt AE tại trung điểm K của AE.
Hai đường tròn (O₁) và (O₂) có dây cung chung AE nên O₁O₂ là trung trực của AE.
Suy ra \(\widehat{AKO_2}=\widehat{ANO_2}=90^0\). Từ đó suy ra tứ giác AKNO₂ nội tiếp \(\Rightarrow \widehat{AO_2K}=\widehat{ANK} \ \ \ (1)\)
Tứ giác AIMN là hình chữ nhật nên \(\widehat{AMO_1}=\widehat{ANK}\)    (2)
Từ (1) và (2) suy ra \(\widehat{AO_2O_1}=\widehat{AMO_1}\), lại có \(AMO_1=90^0\) nên tứ giác \(AO_1MO_2\)  nội tiếp trong đường tròn đường kính \(O_1O_2\). Vậy M và E là giao điểm của đường tròn đường kính \(O_1O_2\) với trục Ox.
+ Đường tròn đường kính \(O_1O_2\) có phương trình: \((x-\frac{9}{2})^2+(y-\frac{17}{4})^2=\frac{325}{16}\)
Khi đó tọa độ các điểm M và E là nghiệm của hệ phương trình: \(\left\{\begin{matrix} y=0\\ (x-\frac{9}{2})^2+(y-\frac{17}{4})^2=\frac{325}{16} \end{matrix}\right.\)
Giải hệ phương trình và lưu ý hoành độ của điểm E lớn hơn hoành độ điểm M, ta được E(6;0) và M(3;0).