Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tam giác ABC cân tại B nội tiếp đường tròn (C)

Ta có: I(0; 5)

Do I là trung điểm BM => B(-5; 10)

Ta có: \(\widehat{ABM}=\widehat{ACN}\) (cùng phụ với \(\widehat{BAC}\)) nên A là trung điểm cung MN

\(\Rightarrow IA\perp MN,\overrightarrow{MN}=(-\frac{42}{5};-\frac{6}{5})\)

Do \(IA\perp MN\) nên đường thẳng AI nhận \(\overrightarrow{n}=(7;1)\) làm véc tơ pháp tuyến

Phương trình đường thẳng AI là 7x + y - 5 = 0

Tọa độ A là nghiệm hệ: \(\left\{\begin{matrix} 7x+y-5=0\\ x^{2}+y^{2}-10y-25=0 \end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} y-5=-7x\\x^{2}+(y-5)^{2}=50 \end{matrix}\right.\Rightarrow x^{2}+49x^{2}=50\Leftrightarrow x^{2}=1\Leftrightarrow \bigg \lbrack\begin{matrix} x=1\\x=-1(l) \end{matrix}\)

x = 1 => y = -2 => A(1; -2)

+ Đường thẳng BI nhận véc tơ \(\overrightarrow{BI}=(5;-5)\) làm véc tơ chỉ phương nên nhận \(\overrightarrow{n_{1}}=(1;1)\) làm véc tơ pháp tuyến => Phương trình đường thẳng BI là x + y - 5 = 0

+ Do tam giác ABC cân tại B nên C đối xứng với A qua BI

\(AC\perp BI\) nên đường thẳng AC nhận \(\overrightarrow{n_{2}}=\frac{1}{5}\overrightarrow{BI}=(1;-1)\) làm véc tơ pháp tuyến

=> Phương trình đường thẳng AC là \(x-1-(y+2)=0\Leftrightarrow x-y-3=0\)

+ Gọi H là giao điểm của BI và AC => Tọa độ H là nghiệm hệ

\(\left\{\begin{matrix} x-y-3=0\\x+y-5=0 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=4\\y=1 \end{matrix}\right.\Rightarrow H(4;1)\)

Do H là trung điểm AC nên C(7; 4). Vậy A(1; -2), B(-5; 10), C(7; 4)