Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có \(\widehat{ACD}=\alpha\) với \(cos \ \alpha =\frac{1}{\sqrt{5}}\)

Từ giả thiết suy ra H thuộc cạnh BC và BH \(= \frac{2}{3}BC\)
Vì BH // AD nên \(\frac{KH}{KA}=\frac{BH}{AD}=\frac{2}{3}\Rightarrow HK=\frac{2}{3}.KA\). Suy ra \(\overrightarrow{HA}=\frac{5}{2}\overrightarrow{HK} \Leftrightarrow \left (x_A, -\frac{1}{3}; y_A+\frac{4}{3} \right )=\frac{5}{3}\left ( \frac{2}{3},\frac{4}{3} \right )\Rightarrow \left ( \frac{5}{3};\frac{10}{3} \right )\Rightarrow A(2;2)\)
Vì vuông tại D và \(cos\widehat{ACD}=cos\alpha =\frac{1}{\sqrt{5}}\) nên \(AD=2.CD.AC=\sqrt{5}CD\)
Đặt \(CD=a(a>0)\Rightarrow AD=2a\Rightarrow AB=a, BH=\frac{4}{3}a\)
Trong tam giác ABH ta có \(AB^2+BH^2=AH^2\Leftrightarrow \frac{25}{9}a^2=\frac{125}{9}\Rightarrow a=\sqrt{5}\)
Suy ra \(AB=\sqrt{5},HB=\frac{4\sqrt{5}}{3} \ \ (*)\)
Giả sử B(x; y) với x > 0, từ (*) ta có
\(\left\{\begin{matrix} (x-2)^2+(y-2^2=5)\\ (x-\frac{1}{3})^2+(y+\frac{4}{3})^2=\frac{80}{8} \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \bigg \lbrack\begin{matrix} x=3,y=0\\ x=-\frac{1}{5},y=\frac{8}{5} \ \ (ktm) \end{matrix}\)
Suy ra B(3;0). Từ \(\overrightarrow{BC}=\frac{3}{2}\overrightarrow{BH}\Rightarrow C(-1;-2)\)
Từ \(\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}\Rightarrow D(-2;0)\)