Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, xét tam giác ABC vuông tại A, phương trình đường thẳng BC là : \(\sqrt 3 x - y - \sqrt 3 = 0\) , các đỉnh A và B thuộc trục hoành và bán kính đường tròn nội tiếp tam giác bằng 2. Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC.

Ta có : \(BC \cap Ox = B(1;0)\).

Đặt \({x_A} = a\) ta có A(a;0) và  \({x_C} = a \Rightarrow {y_C} = \sqrt 3 a - \sqrt 3 .\) 

Vậy \(C\left( {a;\sqrt 3 a - \sqrt 3 } \right).\) 

Từ công thức \(\left\{ \begin{array}{l}{x_G} = \dfrac{1}{3}\left( {{x_A} + {x_B} + {x_C}} \right)\\{y_G} = \dfrac{1}{3}\left( {{y_A} + {y_B} + {y_C}} \right)\end{array} \right.\)  ta có \(G\left( {\dfrac{{2a + 1}}{3};\dfrac{{\sqrt 3 \left( {a - 1} \right)}}{3}} \right).\) 

Mà \(AB = \left| {a - 1} \right|,AC = \sqrt 3 \left| {a - 1} \right|,\)\(BC = 2\left| {a - 1} \right|\). Do đó :

\({S_{\Delta ABC}} = \dfrac{1}{2}AB.AC = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}{\left( {a - 1} \right)^2}.\) 

Ta có \(r = \dfrac{{2S}}{{AB + AC + BC}}\)  \( = \dfrac{{\sqrt 3 {{\left( {a - 1} \right)}^2}}}{{3\left| {a - 1} \right| + \sqrt 3 \left| {a - 1} \right|}} = \dfrac{{\left| {a - 1} \right|}}{{\sqrt 3  + 1}} = 2\) 

Vậy \(\left| {a - 1} \right| = 2\sqrt 3  + 2.\) 

Trường hợp 1. \({a_1} = 2\sqrt 3  + 3\) \( \Rightarrow {G_1}\left( {\dfrac{{7 + 4\sqrt 3 }}{3};\dfrac{{6 + 2\sqrt 3 }}{3}} \right).\) 

Trường hợp 2. \({a_2} =  - 2\sqrt 3  - 1\)\( \Rightarrow {G_2}\left( {\dfrac{{4\sqrt 3  - 1}}{3};\dfrac{{ - 6 - 2\sqrt 3 }}{3}} \right).\)