Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC với A (-3; -4)

+ Phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC: \((x+\frac{1}{2})^2+(y-1)^2=\frac{125}{4}\)    (1)

+ Phương trình đường thẳng AI: \(\frac{x+3}{2+3}=\frac{y+4}{1+4}\Leftrightarrow x-y-1=0\)

+Đường thẳng AI cắt đường tròn ngoại tiếp tại điểm thứ hai là D, trung điểm cung BC. Hoành độ điểm D là nghiệm khác -3 của phương trình :

\((x+\frac{1}{2})^2+(x-2)^2=\frac{125}{4}\Leftrightarrow \bigg \lbrack \begin{matrix} x=-3\\ x=\frac{9}{2} \end{matrix} \Rightarrow D \left ( \frac{9}{2};\frac{7}{2} \right )\)

+ Ta có \(\widehat{BID}=\frac{\widehat{A}}{2}+\frac{\widehat{B}}{2}\) và \(\widehat{IBD}=\widehat{IBC}+\widehat{CBD}=\frac{\widehat{B}}{2}+\frac{\widehat{A}}{2}\) suy ra \(\widehat{BID}= \widehat{IBD}\Rightarrow DI=DB=DC\Rightarrow B,\ C\) nằm trên đường tròn tâm D bán kính DI có phương trình:

\(\left ( x-\frac{9}{2} \right )+\left ( y-\frac{7}{2} \right )^2=\frac{50}{4}\)   (2)

+ Tọa độ điểm B và C là nghiệm hệ phương trình (1) và (2)

\(\left\{\begin{matrix} (x+\frac{1}{2})^2+(y-1)^2=\frac{124}{4}\\ (x-\frac{9}{2})^2+(y-\frac{7}{2})^2=\frac{50}{4} \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} x^2+y^2+x-2y-30=0\\ x^2+y^2-9x-7y+20=0 \end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow \left\{\begin{matrix} 10x+5y-50=0\\ x^2+y^2-9x-7y+10=0 \end{matrix}\right.\)

Suy ra phương trình đường thẳng BC : 10x + 5y - 50 = 0 hay 2x + y - 10 = 0