Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm A( 2;2) và các đường thẳng \({d_1}:x + y - 2 = 0\), \({d_2}:x + y - 8 = 0\). Tìm tọa độ các điểm B và C lần lượt thuộc \({d_1}\) và \({d_2}\) sao cho tam giác ABC vuông cân tại A.

Vì \(B \in {d_1},C \in {d_2}\) nên \(B\left( {b;2 - b} \right),C\left( {c;8 - c} \right).\)

Khi đó \(\overrightarrow {AB}  = \left( {b - 2; - b} \right),\) \(\overrightarrow {AC}  = \left( {b - 2;6 - c} \right)\)

\( \Rightarrow \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} \) \( = \left( {b - 2} \right)\left( {c - 2} \right) - b\left( {6 - c} \right)\) \( = bc - 2c - 2b + 4 - 6b + bc\) \( = 2bc - 8b - 2c + 4\) \( = 2\left( {bc - 4b - c + 2} \right)\)

Tam giác ABC vuông cân tại A

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC}  = 0\\AB = AC\end{array} \right.\)  \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}bc - 4b - c + 2 = 0\\{b^2} - 2b = {c^2} - 8c + 18\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}(b - 1)(c - 4) = 2\\{(b - 1)^2}-{(c - 4)^2} = 3.\end{array} \right.\) 

Đặt x = b – 1, y = c – 4 ta có hệ :   

\(\left\{ \begin{array}{l}x.y = 2\\{x^2} - {y^2} = 3\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x =  - 2\\y =  - 1\end{array} \right.\)   hoặc \(\left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = 1.\end{array} \right.\)

Suy ra \(\left\{ \begin{array}{l}b = x + 1 =  - 2 + 1 =  - 1\\c = y + 4 =  - 1 + 4 = 3\end{array} \right.\) \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}B\left( { - 1;3} \right)\\C\left( {3;5} \right)\end{array} \right.\)

Hoặc \(\left\{ \begin{array}{l}b = x + 1 = 2 + 1 = 3\\c = y + 4 = 1 + 4 = 5\end{array} \right.\) \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}B\left( {3; - 1} \right)\\C\left( {5;3} \right)\end{array} \right.\)

Vậy B(-1 ; 3), C(3 ; 5) hoặc B(3 ; -1), C(5;3)