Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC với \(A(2;4);B(3;1);C( - 1;1)\). Tìm tọa độ trọng tâm G, trực tâm H, tâm I của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

\(A(2;4),B(3;1),C( - 1;1)\)

Tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC là: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_G} = \dfrac{{{x_A} + {x_B} + {x_C}}}{3} = \dfrac{4}{3}\\{y_G} = \dfrac{{{y_A} + {y_B} + {y_C}}}{3} = 2\end{array} \right.\)

Vậy \(G\left( {\dfrac{4}{3};2} \right)\)

*Gọi H(x; y), ta có:

\(\overrightarrow {AB}  = (1; - 3);\overrightarrow {BC}  = ( - 4;0)\);\(\overrightarrow {CH}  = (x + 1;y - 1);\)\(\overrightarrow {AH}  = (x - 2;y - 4)\)

H là trực tâm tam giác ABC \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}AH \bot BC\\CH \bot AB\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AH} .\overrightarrow {BC}  = 0\\\overrightarrow {CH} .\overrightarrow {AB}  = 0\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 4(x - 2) +0(y-4)= 0\\(x + 1) - 3(y - 1) = 0\end{array} \right. \)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x - 2 = 0\\
x - 3y + 4 = 0
\end{array} \right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = 2\end{array} \right.\)

*Gọi I(x; y), I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC \( \Leftrightarrow IA = IB = IC\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
AI = BI\\
BI = CI
\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\sqrt {{{\left( {x - 2} \right)}^2} + {{\left( {y - 4} \right)}^2}} = \sqrt {{{\left( {x - 3} \right)}^2} + {{\left( {y - 1} \right)}^2}} \\
\sqrt {{{\left( {x - 3} \right)}^2} + {{\left( {y - 1} \right)}^2}} = \sqrt {{{\left( {x + 1} \right)}^2} + {{\left( {y - 1} \right)}^2}}
\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{(x - 2)^2} + {(y - 4)^2} = {(x - 3)^2} + {(y - 1)^2}\\{(x - 3)^2} + {(y - 1)^2} = {(x + 1)^2} + {(y - 1)^2}\end{array} \right.\)

\(\begin{array}{l}
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 4} \right)^2} = {\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2}\\
{\left( {x - 3} \right)^2} = {\left( {x + 1} \right)^2}
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 4} \right)^2} = {\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2}\\
{x^2} - 6x + 9 = {x^2} + 2x + 1
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 4} \right)^2} = {\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2}\\
- 8x = - 8
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{\left( {1 - 2} \right)^2} + {\left( {y - 4} \right)^2} = {\left( {1 - 3} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2}\\
x = 1
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
1 + {y^2} - 8y + 16 = 4 + {y^2} - 2y + 1\\
x = 1
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
- 6y = - 12\\
x = 1
\end{array} \right.
\end{array}\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 2\end{array} \right.\)

Vậy: I(1; 2)