Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC có C(-1;-2) ngoại tiếp đường tròn tâm I.

Ta có \(\widehat{KIC}=\widehat{IBC}+\widehat{ICB}=\frac{\widehat{ABC}}{2}+\frac{\widehat{ACB}}{2}=90^0 -\frac{\widehat{BAC}}{2}\)   (1)
Ta có \(\widehat{KNC}=\widehat{ANM}=\widehat{AMN}=90^0-\frac{\widehat{BAC}}{2}\)   (2)
Từ (1) và (2) suy ra \(\widehat{KIC}=\widehat{KNC}\) nên tứ giác KNIC nội tiếp trong đường kính IC.
Mặt khác tam giác IHC nội tiếp trong đường tròn đường kính IC
Vậy 5 điểm K, N, I, H, C nằm trên đường tròn đường kính IC.
Gọi J là trung điểm của IC nên J là tâm đường tròn đi qua 5 điểm trên.
Giả sử J(x;y) khi đó
\(JC=JK=JH\Rightarrow \left\{\begin{matrix} JC=JK\\ JC=JH \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} (-1-x)^2+(-4-y)^2=(-1-x)^2+(-2-y)^2\\ (-1-x)^2+(-4-y)^2=(2-x)^2+(1-y)^2 \end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow J(3;-3)\)
Vì J là trung điểm của IC nên I(7;-4). Từ đó suy ra BI có phương trình y + 4 = 0
BC đi qua H và C nên có phương trình x - y - 1 = 0
Do đó, B(x;y) là nghiệm của hệ \(\left\{\begin{matrix} y+4=0\\ x-y-1=0 \end{matrix}\right.\Rightarrow B(-3;-4)\)
Vì \(\widehat{INC}=1v\Rightarrow \widehat{NKC}=1v\)
Từ đó gọi C’ là điểm đối xứng của C qua đường thẳng BI. Khi đó K là trung điểm của CC’ nên C’(-1;-6).
Đường thẳng AB qua B và C’ có phương trình là: x + y + 7 = 0
Giả sử AC có VTPT \(\overrightarrow{n}=(a,b),(a^2+b^2\neq 0)\)
Khi đó AC có phương trình \(a(x+1)+b(y+2)=0\Leftrightarrow ax+by+a+2b=0\)
Ta có 
\(d(I,AC)=IH\Leftrightarrow \frac{\left | 7a-4b+a+2b \right |}{\sqrt{a^2+b^2}}=5\sqrt{2}\)
\(\Leftrightarrow \frac{\left | 8a-2b \right |}{\sqrt{a^2+b^2}}=5\sqrt{2}\Leftrightarrow \bigg \lbrack\begin{matrix} \frac{a}{b}=-1\\ \frac{a}{b}=\frac{23}{7} \end{matrix}\)
+ \(\frac{a}{b}=-1\) chọn a = 1, b = -1 nên AC có phương trình x - y - 1 = 0 (trùng BC) (loại)
+ \(\frac{a}{b}=\frac{23}{7}\) chọn a = 23, b = 7 nên AC có phương trình 23x + 7y + 37  = 0
+ Khi đó A (x; y) là nghiệm của hệ \(\left\{\begin{matrix} x+y+7=0\\ 23x+7y+37=0 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=\frac{3}{4}\\ y=-\frac{31}{4} \end{matrix}\right.\)
Vậy \(A\left ( \frac{3}{4};-\frac{31}{4} \right )\)