Trong mặt phẳng Oxy, cho hình vuông ABCD có M là trung điểm CD và N ở trên cạnh BC sao cho CN = 2NB.

Gọi H là hình chiếu của N trên AM. Ta có: (NH) qua N và vuông góc (AM)
\(\Rightarrow (NH): 7(x-4)+1(y-3)=0\)
\(\Rightarrow (NH): 7x+y-31=0\)
Tọa độ H thỏa hệ \(\left\{\begin{matrix} x-7y-33=0\\ 7x+y-31=0 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow H(5;-4)\)
Ta có: \(\widehat{ABN}=\widehat{AHN}=90^0\Rightarrow\) AHNB nội tiếp.
Mặt khác ta có:
\(tan\widehat{MAN}=cot(\widehat{DAM}+\widehat{BAN})=\frac{1-tan\widehat{DAM}.tan\widehat{BAN}}{tan\widehat{DAM}+\widehat{BAN}}\)
\(=\frac{1-\frac{1}{2}.\frac{1}{3}}{\frac{1}{2}+\frac{1}{3}}=1\)
\(\Rightarrow \widehat{MAN}=45^0\Rightarrow \widehat{HBN}=\widehat{HAN}=45^0\Rightarrow\) H thuộc BD

\(A\in (AM)\Rightarrow A(33+7a;a)\) với \(33+7a< 0\Rightarrow \overline{HA}=(28+7a;a+4);\overline{HN}=(-1;7)\)
\(\Delta\)HAN vuông cân tại \(H\Rightarrow HA^2=IN^2\Leftrightarrow 50(a+4)^2=50\Leftrightarrow \bigg \lbrack \begin{matrix} a=-5\\ a=-3\ \ (L) \end{matrix}\)
Vậy A(-2; -5).
Gọi I là hình chiếu của H trên BC và \(K=AB\cap NH\)
Ta có: \(\frac{BI}{CI}=\frac{BH}{DH}=\frac{AB}{DM}=2\Rightarrow BI=2CI\Rightarrow\) N là trung điểm BI \(\Rightarrow\)N là trung điểm HK
\(\Rightarrow K(3;10)\Rightarrow \overline{AK}=(5;15)=5(1;3)\)
Do đó: \(AB: \frac{x+2}{1}=\frac{y+5}{3}\Leftrightarrow 3x-y+1=0\)
\(BC: 1(x-4)+3(y-3)=0\Leftrightarrow x+3y-13=0\)
Do đó \(B\left\{\begin{matrix} 3x-y+1=0\\ x+3y-13=0 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow B(1;4)\)