Tìm toạ độ hai điểm B và C biết đường thẳng BH đi qua N(8; 6)

Chứng minh AE vuông góc với BH.
Ta có: \(\overrightarrow{AE}. \overrightarrow{BH}= (\overrightarrow{AM} +\overrightarrow{AH}) (\overrightarrow{BM} +\overrightarrow{MH}) =\overrightarrow{AM} . \overrightarrow{MH} +\overrightarrow{AH} .\overrightarrow{MC}\)
\((AM\perp BM;AH\perp MH)\)
\(=(\overrightarrow{AH}+\overrightarrow{HM})\overrightarrow{MH}+\overrightarrow{AH} (\overrightarrow{MH}+\overrightarrow{HC})=-MH^2+\overrightarrow{AH}.\overrightarrow{HC}\)
\(=-MH^2+AH.HC=0\)
Ta có \(\overrightarrow{AE}=(\frac{15}{4};-\frac{21}{4})\) là vtpt của BH, suy ra phương trình BH: 5x – 7y + 2 = 0.
Toạ độ H là nghiệm của hệ: \(\left\{\begin{matrix} 5x-7y+2=0\\ x+3y-15=0 \end{matrix}\right.\Rightarrow H\bigg ( \frac{9}{2};\frac{7}{2} \bigg )\)
Do E là trung điểm Của đoạn MH suy ra M(3; 2).
Do \(AM\perp BC\Rightarrow \overline{AM}=(3;-6)\) là véc tơ pháp tuyến của BC \(\Rightarrow BC: x-2y+1=0\)
Toạ độ B là nghiệm của hệ: \(\left\{\begin{matrix} 5x-7y+2=0\\ x-2y+1=0 \end{matrix}\right.\Rightarrow B(1;1)\)
Do M là trung điểm của BC, suy ra C(5; 3).
Vậy B(1; 1) và C(5; 3).