Tìm tọa độ điểm A biết bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác bằng căn 10

 Vì A nằm trên AH cho nên A có dạng A(2a;a)

Đường thẳng AC vuông với BH cho nên nhận vectơ chỉ phương của BH làm vectơ pháp tuyến và đi qua A(2a;a) ⇒ AC : y=a.

ta có: 

\(AC \cap HC = C \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {y = a}\\ {x + y = 3} \end{array}} \right. \Rightarrow C(3 - a;a)\)

Đường thẳng AB vuông với CH cho nên nhận vectơ chỉ phương của CH lamg vẽtơ pháp tuyến và đi qua A(2a;a) ⇒ AB: -x+y+a=0

\(AB \cap BH = B \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = 2}\\ { - x + y + a} \end{array}} \right. \Rightarrow B(2;2 - a)\)

Gọi D là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

Gọi E là trung điểm AC, J là trung điểm AB \( \Rightarrow E\left( {\frac{{a + 3}}{2};a} \right);J\left( {a + 1;1} \right)\)

Ta có DE song song với BH(DE là đường trung trực của AC nên vuông với AC )

Phương trình DE được xác định: Qua E và song song BH \( \Rightarrow DE:\,\,\,\,x = \frac{{3 + a}}{2}\)

Tương tự ta có JD song song với CH nên phương trình JD được xác định: Qua J và song song CH

\( \Rightarrow J{\rm{D}}:\,\,\,\,\,x + y - 2 - a\) 

Ta có:

\(JD \cap DE = D \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = \frac{{a + 3}}{2}}\\ {x + y - 2 - a = 0} \end{array}} \right. \Rightarrow D(\frac{{a + 3}}{2};\frac{{a + 1}}{2})\) 

Ta có :

\(\begin{array}{l} \overrightarrow {A{\rm{D}}} = \left( {\frac{{ - 3{\rm{a}} + 3}}{2};\frac{{ - a + 1}}{2}} \right)\\ \Rightarrow \left| {\overrightarrow {A{\rm{D}}} } \right| = \sqrt {{{\left( {\frac{{ - 3{\rm{a}} + 3}}{2}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{ - a + 1}}{2}} \right)}^2}} = \sqrt {10} \\ \Leftrightarrow \frac{9}{4}{\left( {a - 1} \right)^2} + \frac{1}{4}{\left( {a - 1} \right)^2} = 10\\ \Leftrightarrow {\left( {a - 1} \right)^2} = 4\\ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {a = 3}\\ {a = - 1} \end{array}} \right. \end{array}\)

Vì điểm A có hoành độ âm nên ta chọn a= -1

Vậy điểm A(-2;-1)