Tìm tọa độ điểm A, biết A có hoành độ dương

Gọi I trung điểm AH. Tứ giác AEHF nội tiếp và bốn điểm B, C, E, F cùng thuộc một đường tròn nên IM \(\perp\) EF (đoạn nối tâm vuông góc với dây chung).
Ta có: IEF=ABE (cùng phụ góc A hoặc cùng phụ góc EHF) 
và \(ABE=\frac{1}{2}AMF=IME\)
\(\Rightarrow MEI =90^0\Rightarrow MFI =MEI =90^0\)
Do đó tứ giác MEIF nội tiếp đường tròn đường kính IM, tâm là trung điểm J của IM. (Đường tròn (J) là đường tròn Euler)
Đường thẳng IM qua M và vuông góc EF nên có phương trình: 3x + y – 9 = 0. I là giao điểm của AH và IM nên tọa độ điểm I là nghiệm của hệ phương trình:
\(\left\{\begin{matrix} 3x-y+3=0\\ 3x+y-9=0 \end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow I(1;6)\)
Đường tròn đường kính IM có tâm J(2; 3) và bán kính r=JM=\(\sqrt{10}\) nên có phương trình: (x – 2)² + (y – 3)² = 10
Tọa độ điểm E là nghiệm của hệ phương trình
\(\left\{\begin{matrix} x-3y+7=0\\ (x-2)^2+(y-3)^2=10 \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=3y-7\\ (y-3)^2=1 \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=5\\ y=4 \end{matrix}\right.\) hoặc \(\left\{\begin{matrix} x=-1\\ y=2 \end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow E(5;4) \ \ or \ \ E(-1;2)\)
Vì A \(\in\) AH nên A(a; 3a + 3)
Ta có: \(IA=IE\Leftrightarrow IA^2=IE^2\Leftrightarrow (a-1)^2+(3a-3)^2=20\Leftrightarrow a=1\pm \sqrt{2}\)
Vì A có hoành độ dương nên \(A(1+\sqrt{2};6+3\sqrt{2})\)